Как разложить на множители следующие выражения:

1. 9а^2 - 16
2. 16m^2 - 81n^2
3. 125x^3 - 8

Как решить уравнение:

• (3z = 4)^2 - 16 = 0
• |x|^4 - 2x^2 + 1 = 0

Как разложить на множители выражение:

(3x + 4)^2 - 216

Как доказать, что 41^3 = 8 * 33^3 делится на 107?

Алгебра 8 класс Разложение на множители и уравнения разложение на множители алгебра 8 класс уравнения алгебры выражения алгебры доказательства делимости квадрат разности куб разности формулы сокращенного умножения Новый

Давайте разберемся с каждым из ваших вопросов по порядку.

1. Разложение на множители:

Для начала, разложим каждое из данных выражений:

• 9a^2 - 16:
1. Это выражение является разностью квадратов, так как 9a^2 = (3a)^2 и 16 = 4^2.
2. Формула разности квадратов: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).
3. Применяем формулу: 9a^2 - 16 = (3a - 4)(3a + 4).
• 16m^2 - 81n^2:
1. Также это разность квадратов: 16m^2 = (4m)^2 и 81n^2 = (9n)^2.
2. Применяем формулу: 16m^2 - 81n^2 = (4m - 9n)(4m + 9n).
• 125x^3 - 8:
1. Это разность кубов, так как 125x^3 = (5x)^3 и 8 = 2^3.
2. Формула разности кубов: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).
3. Применяем формулу: 125x^3 - 8 = (5x - 2)((5x)^2 + (5x)(2) + (2)^2) = (5x - 2)(25x^2 + 10x + 4).

2. Решение уравнений:

• (3z = 4)^2 - 16 = 0:
1. Сначала упростим уравнение: (3z - 4)^2 = 16.
2. Теперь извлекаем корень: 3z - 4 = ±4.
3. Решаем два случая:
• 3z - 4 = 4: 3z = 8, z = 8/3.
• 3z - 4 = -4: 3z = 0, z = 0.
4. Ответ: z = 8/3 и z = 0.
• |x|^4 - 2x^2 + 1 = 0:
1. Обозначим y = |x|^2. Тогда уравнение превращается в: y^2 - 2y + 1 = 0.
2. Это квадратное уравнение, которое можно разложить: (y - 1)^2 = 0.
3. Таким образом, y = 1, что дает |x|^2 = 1.
4. Следовательно, x = ±1.
5. Ответ: x = 1 и x = -1.

3. Разложение на множители выражения (3x + 4)^2 - 216:

Это также разность квадратов:

• (3x + 4)^2 - 216 = (3x + 4 - √216)(3x + 4 + √216).
• Заметим, что √216 = 6√6, и тогда:
• (3x + 4 - 6√6)(3x + 4 + 6√6).

4. Доказательство, что 41^3 = 8 * 33^3 делится на 107:

Для начала, упростим выражение:

• 41^3 = (40 + 1)^3 = 40^3 + 3 * 40^2 * 1 + 3 * 40 * 1^2 + 1^3 = 64000 + 4800 + 120 + 1 = 68821.
• 33^3 = (30 + 3)^3 = 30^3 + 3 * 30^2 * 3 + 3 * 30 * 3^2 + 3^3 = 27000 + 8100 + 270 + 27 = 35397.
• Теперь проверим делимость: 8 * 33^3 = 8 * 35397 = 283176.
• Теперь проверим, делится ли 68821 на 107: 68821 / 107 = 643.
• Поскольку 643 - целое число, то 68821 делится на 107.

Таким образом, мы доказали, что 41^3 = 8 * 33^3 делится на 107.