Как разложить на множители следующие выражения:
а) x^3+x^2-x-1
б) 16-4a+a^3-a^4?

Как доказать тождество:
(x+y)^3(x-y)^2=x(x^2-y^2)^2+y(x^2-y^2)?

Как представить в виде многочлена:
а) (p+k-4)(p+k+4)
б) (a-b+5)(a+b+5)
в) (x-y-6)(x+y+6)
г) (m-n+2)(m+n-2)?

Алгебра 8 класс Разложение многочленов на множители и представление произведений в виде многочленов разложение на множители тождество многочлен алгебра 8 класс выражения доказательство примеры разложения алгебраические выражения факторизация алгебраические тождества Новый

Давайте разберем каждую из ваших задач по порядку.

1. Разложение на множители:

а) Для выражения x^3 + x^2 - x - 1, мы можем использовать метод группировки.

1. Сначала сгруппируем члены: (x^3 + x^2) + (-x - 1).
2. Теперь вынесем общий множитель из каждой группы: x^2(x + 1) - 1(x + 1).
3. Теперь мы видим, что (x + 1) является общим множителем: (x + 1)(x^2 - 1).
4. Далее, x^2 - 1 можно разложить как разность квадратов: (x + 1)(x - 1)(x + 1).
5. Таким образом, окончательное разложение: (x + 1)^2(x - 1).

б) Для выражения 16 - 4a + a^3 - a^4, сначала перепишем его в удобном порядке: -a^4 + a^3 - 4a + 16.

1. Теперь можем вынести -1 из всего выражения: -1(a^4 - a^3 + 4a - 16).
2. Далее, попробуем сгруппировать: (a^4 - a^3) + (4a - 16).
3. Вынесем общий множитель: a^3(a - 1) + 4(a - 4).
4. Мы видим, что (a - 4) не является общим множителем, поэтому попробуем использовать метод деления многочленов или подберем делители.
5. После проб и ошибок, мы находим, что выражение можно разложить как: -(a - 4)(a^3 + 4).

2. Доказательство тождества:

Для доказательства тождества (x + y)^3(x - y)^2 = x(x^2 - y^2)^2 + y(x^2 - y^2), начнем с левой части.

1. Распишем (x + y)^3: (x + y)(x + y)(x + y).
2. Затем распишем (x - y)^2: (x - y)(x - y).
3. Теперь перемножаем обе части. Это может быть довольно громоздким, поэтому проще проверить, равны ли обе части, подставив конкретные значения x и y.
4. Также можно заметить, что x^2 - y^2 = (x + y)(x - y), и использовать это для преобразования правой части.

3. Представление в виде многочлена:

а) (p + k - 4)(p + k + 4):

1. Это выражение имеет вид разности квадратов: (p + k)^2 - 4^2.
2. Раскроем скобки: (p + k)^2 - 16.

б) (a - b + 5)(a + b + 5):

1. Также используем разность квадратов: (a + 5)^2 - b^2.
2. Раскроем скобки: (a + 5)^2 - b^2.

в) (x - y - 6)(x + y + 6):

1. Снова используем разность квадратов: (x - 6)^2 - y^2.
2. Раскроем: (x - 6)^2 - y^2.

г) (m - n + 2)(m + n - 2):

1. Здесь также используем разность квадратов: (m + 2)^2 - n^2.
2. Раскроем: (m + 2)^2 - n^2.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!