Как решить неравенство: √(x + 1) < (x - 1)?

Алгебра 8 класс Неравенства с корнями решение неравенства алгебра 8 класс неравенства с корнями Квадратные неравенства математические неравенства Новый

Для решения неравенства √(x + 1) < (x - 1) мы будем следовать нескольким шагам. Давайте начнем с анализа и преобразования неравенства.

Шаг 1: Определение области допустимых значений

Сначала мы должны определить, при каких значениях x выражение под корнем √(x + 1) будет определено. Корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел. Поэтому:

• x + 1 ≥ 0
• x ≥ -1

Шаг 2: Изолируем корень

Теперь мы можем переписать неравенство:

√(x + 1) < (x - 1)

Для того чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны неравенства в квадрат. Но помните, что при возведении в квадрат неравенство может измениться, если обе стороны отрицательные. Поэтому сначала проверим, при каких условиях (x - 1) положительно:

• x - 1 > 0
• x > 1

Таким образом, мы будем решать неравенство для x > 1.

Шаг 3: Возведение в квадрат

Теперь, если x > 1, мы можем возвести обе стороны в квадрат:

(√(x + 1))² < (x - 1)²

Это дает нам:

x + 1 < (x - 1)(x - 1)

Раскроем правую часть:

x + 1 < x² - 2x + 1

Шаг 4: Приведение к стандартному виду

Теперь перенесем все в одну сторону:

0 < x² - 2x + 1 - x - 1

0 < x² - 3x

Или:

x² - 3x > 0

Шаг 5: Факторизация

Теперь мы можем факторизовать левую часть:

x(x - 3) > 0

Шаг 6: Определяем промежутки

Теперь найдем корни уравнения x(x - 3) = 0:

• x = 0
• x = 3

Эти корни делят числовую ось на три промежутка: (-∞, 0), (0, 3) и (3, +∞).

Шаг 7: Проверка знаков

Теперь проверим знак выражения x(x - 3) на каждом из промежутков:

• Для x < 0 (например, x = -1): (-1)(-1 - 3) = 4 > 0
• Для 0 < x < 3 (например, x = 1): (1)(1 - 3) = -2 < 0
• Для x > 3 (например, x = 4): (4)(4 - 3) = 4 > 0

Шаг 8: Итоговый ответ

Таким образом, неравенство выполняется на промежутках:

• x < 0
• x > 3

Однако, учитывая, что мы ранее определили область допустимых значений x ≥ -1, окончательный ответ будет:

x ∈ [-1, 0) ∪ (3, +∞)