Как решить уравнение: |х-2|+|х-5|=3?

Алгебра 8 класс Модули и уравнения с модулями решить уравнение алгебра 8 класс модульное уравнение |х-2|+|х-5|=3 методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение |x - 2| + |x - 5| = 3, нам нужно учитывать, что абсолютные значения могут принимать разные формы в зависимости от того, в каком диапазоне находится переменная x. Мы будем рассматривать три случая, основанных на значениях 2 и 5, так как именно они являются точками, где выражения внутри абсолютных значений меняют знак.

Итак, рассмотрим три случая:

1. Случай 1: x < 2

В этом случае оба выражения внутри абсолютных значений будут отрицательными:

• |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2
• |x - 5| = -(x - 5) = -x + 5

Подставим эти выражения в уравнение:

-x + 2 - x + 5 = 3

Упростим:

-2x + 7 = 3

Переносим 7 на правую сторону:

-2x = 3 - 7 -2x = -4

Делим обе стороны на -2:

x = 2

Поскольку x < 2, это значение не подходит. Переходим к следующему случаю.

2. Случай 2: 2 ≤ x < 5

В этом случае |x - 2| будет положительным, а |x - 5| отрицательным:

• |x - 2| = x - 2
• |x - 5| = -(x - 5) = -x + 5

Подставим эти выражения в уравнение:

x - 2 - x + 5 = 3

Упростим:

3 = 3

Это равенство верно для всех x в диапазоне 2 ≤ x < 5. Следовательно, все значения в этом диапазоне являются решениями.

3. Случай 3: x ≥ 5

В этом случае оба выражения внутри абсолютных значений будут положительными:

• |x - 2| = x - 2
• |x - 5| = x - 5

Подставим эти выражения в уравнение:

x - 2 + x - 5 = 3

Упростим:

2x - 7 = 3

Переносим -7 на правую сторону:

2x = 3 + 7 2x = 10

Делим обе стороны на 2:

x = 5

Поскольку x ≥ 5, это значение подходит.

Таким образом, мы получили два типа решений:

• Все значения x, такие что 2 ≤ x < 5.
• Одно конкретное значение x = 5.

В итоге, решением уравнения |x - 2| + |x - 5| = 3 является интервал [2, 5].