Как решить уравнения: А) (х-4)²-25х² и Б) а²-в²-4в-4а?

Алгебра 8 класс Решение уравнений и неравенств решение уравнений алгебра 8 класс Квадратные уравнения разность квадратов примеры уравнений методы решения уравнений Новый

Давайте разберем оба уравнения по очереди.

Уравнение А: (х-4)² - 25х² = 0

1. Сначала раскроем скобки в первом слагаемом: (х-4)² = х² - 8х + 16.
2. Теперь подставим это выражение в уравнение:
3. х² - 8х + 16 - 25х² = 0.
4. Объединим подобные слагаемые:
5. х² - 25х² - 8х + 16 = 0, что упрощается до -24х² - 8х + 16 = 0.
6. Умножим все уравнение на -1 для удобства:
7. 24х² + 8х - 16 = 0.
8. Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 8:
9. 3х² + х - 2 = 0.
10. Теперь можем использовать формулу для решения квадратного уравнения: х = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Здесь a = 3, b = 1, c = -2.
11. Сначала найдем дискриминант: D = b² - 4ac = 1² - 4 * 3 * (-2) = 1 + 24 = 25.
12. Теперь подставим значения в формулу: х = (-1 ± √25) / (2 * 3) = (-1 ± 5) / 6.
13. Это дает два решения: х₁ = (4) / 6 = 2/3 и х₂ = (-6) / 6 = -1.

Таким образом, решения уравнения А: х₁ = 2/3 и х₂ = -1.

Уравнение Б: а² - в² - 4в - 4а = 0

1. Это уравнение можно представить в виде разности квадратов и других слагаемых. Начнем с группировки: а² - 4а - (в² + 4в) = 0.
2. Теперь упростим каждую часть. Для а² - 4а можно выделить полный квадрат: а² - 4а = (а - 2)² - 4.
3. Для - (в² + 4в) выделим полный квадрат: - (в² + 4в) = -((в + 2)² - 4) = - (в + 2)² + 4.
4. Теперь подставим это в уравнение:
5. (а - 2)² - 4 - (в + 2)² + 4 = 0.
6. Сократим -4 и +4:
7. (а - 2)² - (в + 2)² = 0.
8. Теперь мы имеем разность квадратов, которую можно разложить: ((а - 2) - (в + 2))((а - 2) + (в + 2)) = 0.
9. Это дает два уравнения:
10. 1) а - 2 - в - 2 = 0, что упрощается до а - в = 0 или а = в.
11. 2) а - 2 + в + 2 = 0, что упрощается до а + в = 4.

Таким образом, решения уравнения Б: а = в и а + в = 4.