Чтобы решить выражение √(19 + 8√3) + √(19 - 8√3), давайте разберем его шаг за шагом.

1. Первый шаг: Обозначим каждое из корней отдельно:
• A = √(19 + 8√3)
• B = √(19 - 8√3)
2. Второй шаг: Найдем сумму A + B:
• Мы можем попробовать упростить выражения под корнями. Для этого давайте рассмотрим, возможно ли представить 19 + 8√3 и 19 - 8√3 в виде квадратов.
3. Третий шаг: Упрощение под корнями:
• Предположим, что A = √(a + b√c) и B = √(a - b√c). Тогда их сумма может быть упрощена.
• Проверим, можем ли мы представить 19 + 8√3 как квадрат:
• Пусть √(19 + 8√3) = √(x) + √(y), где x и y – это числа, которые мы найдем.
• Тогда (√(x) + √(y))^2 = x + y + 2√(xy) = 19 + 8√3.
• Сравнивая части, мы получаем:
• x + y = 19
• 2√(xy) = 8√3, отсюда √(xy) = 4√3, и следовательно, xy = 48.
4. Четвертый шаг: Решим систему уравнений:
• У нас есть два уравнения:
• x + y = 19
• xy = 48
• Решая систему, подставим y = 19 - x в второе уравнение:
• x(19 - x) = 48.
• Это уравнение можно привести к квадратному:
• -x^2 + 19x - 48 = 0.
• Умножим на -1:
• x^2 - 19x + 48 = 0.
• Теперь найдем дискриминант: D = b^2 - 4ac = 19^2 - 4 * 1 * 48 = 361 - 192 = 169.
• Корни уравнения: x = (19 ± √169) / 2 = (19 ± 13) / 2.
• Таким образом, x1 = 16 и x2 = 3.
• Следовательно, y1 = 3 и y2 = 16.
5. Пятый шаг: Теперь мы можем выразить A и B:
• A = √16 + √3 = 4 + √3,
• B = √3 + √16 = √3 + 4.
6. Шестой шаг: Сложим A и B:
• A + B = (4 + √3) + (4 + √3) = 8 + 2√3.

Ответ: √(19 + 8√3) + √(19 - 8√3) = 8 + 2√3.