Как составить многочлен третьей степени, если известны корни x1=6, x2=-5 (минус не под корнем), x3=5 (под корнем)?

Алгебра 8 класс Многочлены и корни уравнений многочлен третьей степени составление многочлена корни многочлена алгебра 8 класс алгебраические выражения задачи на многочлены Новый

Чтобы составить многочлен третьей степени, зная его корни, нужно использовать формулу, которая связывает корни многочлена с его коэффициентами. В данном случае у нас есть три корня:

• x1 = 6
• x2 = -5
• x3 = 5 (под корнем, что означает, что этот корень имеет кратность 2)

Так как корень x3 имеет кратность 2, это означает, что он будет встречаться дважды в факторизации многочлена. Теперь мы можем записать многочлен в виде произведения его корней:

Многочлен P(x) можно записать следующим образом:

P(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)^2

Подставим значения корней:

P(x) = (x - 6)(x + 5)(x - 5)^2

Теперь давайте упростим этот многочлен. Сначала упростим (x - 5)^2:

(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25

Теперь подставим это выражение обратно в многочлен:

P(x) = (x - 6)(x + 5)(x^2 - 10x + 25)

Теперь необходимо перемножить (x - 6) и (x + 5):

(x - 6)(x + 5) = x^2 + 5x - 6x - 30 = x^2 - x - 30

Теперь у нас есть:

P(x) = (x^2 - x - 30)(x^2 - 10x + 25)

Теперь перемножим два многочлена:

1. Первый множитель: x^2
2. Второй множитель: x^2 - 10x + 25

Умножаем x^2 на каждый член второго множителя:

x^2 * x^2 = x^4

x^2 * (-10x) = -10x^3

x^2 * 25 = 25x^2

Теперь умножим -x на каждый член второго множителя:

-x * x^2 = -x^3

-x * (-10x) = 10x^2

-x * 25 = -25x

И наконец, умножим -30 на каждый член второго множителя:

-30 * x^2 = -30x^2

-30 * (-10x) = 300x

-30 * 25 = -750

Теперь соберем все полученные члены вместе:

P(x) = x^4 - 11x^3 + (25 + 10 - 30)x^2 + (300 - 25)x - 750

Упрощаем:

P(x) = x^4 - 11x^3 + 5x^2 + 275x - 750

Таким образом, многочлен третьей степени, имеющий корни 6, -5 и 5 (с кратностью 2), будет выглядеть как:

P(x) = x^4 - 11x^3 + 5x^2 + 275x - 750