Давайте разберем, как упростить данные выражения шаг за шагом.

1. Упрощение выражений:

1. m^4n^5m^3n^2:
   • Сначала объединим одноименные множители: m^4 * m^3 = m^(4+3) = m^7.
   • Теперь объединим n: n^5 * n^2 = n^(5+2) = n^7.
   • Итак, итог: m^7n^7.
2. x^{10} : x^4:
   • При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: x^(10-4) = x^6.
   • Итак, итог: x^6.
3. а^5а^7 / а^{11}:
   • Сначала объединим a в числителе: a^5 * a^7 = a^(5+7) = a^{12}.
   • Теперь делим: a^{12} / a^{11} = a^(12-11) = a^1 = a.
   • Итак, итог: a.
4. (a^9)^7:
   • При возведении степени в степень показатели перемножаются: a^(9*7) = a^{63}.
   • Итак, итог: a^{63}.
5. (-y)(-y)^2:
   • Сначала упростим: (-y)^2 = y^2.
   • Теперь перемножаем: (-y) * y^2 = -y^(1+2) = -y^3.
   • Итак, итог: -y^3.
6. (b^6c^7)^8 / b^{16}c^{16}:
   • Сначала возведем в степень: (b^6)^8 = b^{48} и (c^7)^8 = c^{56}.
   • Теперь у нас: b^{48}c^{56} / b^{16}c^{16}.
   • Теперь делим: b^(48-16) = b^{32} и c^(56-16) = c^{40}.
   • Итак, итог: b^{32}c^{40}.
7. (3ab^3)^5:
   • Возводим в степень: 3^5 * a^5 * (b^3)^5 = 243a^5b^{15}.
   • Итак, итог: 243a^5b^{15}.
8. ((x^6x^8) / x^2)^4:
   • Сначала объединим в числителе: x^6 * x^8 = x^{14}.
   • Теперь делим: x^{14} / x^2 = x^(14-2) = x^{12}.
   • Возводим в степень: (x^{12})^4 = x^{48}.
   • Итак, итог: x^{48}.

2. Замена звёздочки:

1. * · b^3 = b^{18}:
• Заменим * на b^{18-3} = b^{15}.
2. * : b^3 = b^{18}:
• Заменим * на b^{18} * b^3 = b^{21}.
3. b^{12} : * = b^3:
• Заменим * на b^{12-3} = b^9.
4. b^{16} = (*)^2:
• Заменим * на b^{16/2} = b^8.
5. b^{16} = (*)^4:
• Заменим * на b^{16/4} = b^4.
6. b^{16} = (*)^8:
• Заменим * на b^{16/8} = b^2.

3. Значение выражений:

1. 6^{81} · 6^{40} : 6^{68}:
   • Сначала перемножаем: 6^{81+40} = 6^{121}.
   • Теперь делим: 6^{121-68} = 6^{53}.
   • Итак, итог: 6^{53}.
2. (2^{15})^6 : 2^{85}:
   • Возводим в степень: 2^{15*6} = 2^{90}.
   • Теперь делим: 2^{90-85} = 2^{5}.
   • Итак, итог: 2^{5}.
3. 243 · 9 / 3^6:
   • 243 = 3^5 и 9 = 3^2, значит: 3^5 * 3^2 = 3^{5+2} = 3^7.
   • Теперь делим: 3^7 / 3^6 = 3^{7-6} = 3^1 = 3.
   • Итак, итог: 3.
4. 0,9^{11} · (1 1/9)^{11}:
   • 0,9 = 9/10 и (1 1/9) = 10/9, значит: (9/10)^{11} * (10/9)^{11} = (9^{11} * 10^{11}) / (10^{11} * 9^{11}) = 1.
   • Итак, итог: 1.
5. 26^{18} / (13^{17} · 2^{16}):
   • 26 = 2 * 13, значит: (2 * 13)^{18} = 2^{18} * 13^{18}.
   • Теперь делим: 2^{18} / 2^{16} = 2^{2} и 13^{18} / 13^{17} = 13^{1}.
   • Итак, итог: 4 * 13 = 52.
6. 98^2 / 28^8:
   • 98 = 14 * 7 и 28 = 14 * 2, значит: 98^2 = (14 * 7)^2 = 14^2 * 7^2 и 28^8 = (14 * 2)^8 = 14^8 * 2^8.
   • Теперь делим: (14^2 * 7^2) / (14^8 * 2^8) = 14^{2-8} * 7^2 * 2^{-8} = 14^{-6} * 7^2 / 2^8.
   • Это выражение сложно упростить, но можно оставить в таком виде.
   • Итак, итог: 14^{-6} * 7^2 / 2^8.