Какое целое число n делает дробь (n³ - n + 1) / (n + 2) целым числом? Найдите сумму всех возможных значений n.

Алгебра 8 класс Рациональные выражения и делимость алгебра 8 класс дробь целое число целые числа n решение уравнения сумма значений n математические задачи дроби и целые числа Новый

Чтобы найти целые числа n, которые делают дробь (n³ - n + 1) / (n + 2) целым числом, начнем с анализа самой дроби.

Дробь будет целым числом, если числитель (n³ - n + 1) делится на знаменатель (n + 2) без остатка. Для этого мы можем воспользоваться делением многочленов.

Давайте проведем деление n³ - n + 1 на n + 2. Для этого используем метод деления многочленов:

1. Первый шаг: делим первый член числителя на первый член знаменателя. n³ / n = n².
2. Умножаем n² на (n + 2): n² * (n + 2) = n³ + 2n².
3. Вычитаем полученный результат из числителя: (n³ - n + 1) - (n³ + 2n²) = -2n² - n + 1.
4. Теперь делим -2n² на n: -2n² / n = -2n.
5. Умножаем -2n на (n + 2): -2n * (n + 2) = -2n² - 4n.
6. Вычитаем: (-2n² - n + 1) - (-2n² - 4n) = 3n + 1.
7. Теперь делим 3n на n: 3n / n = 3.
8. Умножаем 3 на (n + 2): 3 * (n + 2) = 3n + 6.
9. Вычитаем: (3n + 1) - (3n + 6) = -5.

Таким образом, мы получили, что:

(n³ - n + 1) = (n + 2)(n² - 2n + 3) - 5.

Теперь нам нужно, чтобы дробь (n³ - n + 1) / (n + 2) была целым числом. Это возможно, если остаток (-5) делится на (n + 2) без остатка. То есть:

-5 должно делиться на (n + 2).

Теперь найдем делители числа -5. Делителями числа -5 являются:

• -5
• -1
• 1
• 5

Теперь решим уравнение для каждого делителя:

1. Если n + 2 = -5, то n = -7.
2. Если n + 2 = -1, то n = -3.
3. Если n + 2 = 1, то n = -1.
4. Если n + 2 = 5, то n = 3.

Таким образом, возможные значения n: -7, -3, -1, 3.

Теперь найдем сумму всех возможных значений n:

-7 + (-3) + (-1) + 3 = -8.

Ответ: Сумма всех возможных значений n равна -8.