Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если его площадь равна 32√3, а один из острых углов равен 30 градусам?

Алгебра 8 класс Прямоугольные треугольники и тригонометрия длина гипотенузы прямоугольный треугольник площадь треугольника острый угол 30 градусов алгебра 8 класс Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства прямоугольного треугольника и формулы для площади треугольника.

В прямоугольном треугольнике с острым углом 30 градусов, мы знаем, что:

• Сторона, противолежащая углу 30 градусов, равна половине гипотенузы.
• Сторона, прилежащая к углу 30 градусов, равна гипотенузе, умноженной на корень из 3, делённой на 2.

Обозначим гипотенузу через c, сторону противолежащую углу 30 градусов через a, а сторону прилежащую к углу 30 градусов через b.

Тогда:

• a = c / 2
• b = (c * √3) / 2

Теперь мы можем выразить площадь прямоугольного треугольника через его стороны:

Площадь S треугольника вычисляется по формуле:

S = (a * b) / 2

Подставим выражения для a и b:

S = (c / 2 (c √3) / 2) / 2

Упрощаем это выражение:

S = (c² * √3) / 8

Теперь мы знаем, что площадь равна 32√3:

(c² * √3) / 8 = 32√3

Чтобы избавиться от √3, умножим обе стороны на 8:

c² * √3 = 256√3

Теперь делим обе стороны на √3:

c² = 256

Теперь находим c, извлекая квадратный корень:

c = √256 = 16

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 16.