Какова сумма всех натуральных n, для которых (2n+1):(n-2) является целым числом?

Алгебра 8 класс Делимость и натуральные числа сумма натуральных n целое число алгебра 8 класс дробь задачи по алгебре Новый

Чтобы найти сумму всех натуральных n, для которых выражение (2n+1):(n-2) является целым числом, начнем с анализа данного выражения.

Выражение (2n+1):(n-2) будет целым числом, если (2n + 1) делится на (n - 2). Это можно записать в виде:

(2n + 1) = k(n - 2),

где k - целое число.

Решим это уравнение для n. Раскроем скобки:

2n + 1 = kn - 2k.

Переносим все члены на одну сторону:

2n - kn + 1 + 2k = 0.

Теперь сгруппируем n:

(2 - k)n + (1 + 2k) = 0.

Решим это уравнение для n:

(2 - k)n = - (1 + 2k).

Следовательно:

n = -(1 + 2k) / (2 - k).

Теперь n должно быть натуральным числом. Это означает, что - (1 + 2k) должно быть положительным и (2 - k) должно быть отрицательным, чтобы дробь n была положительной.

Из условия (2 - k) < 0 следует, что k > 2.

Теперь рассмотрим значения k, начиная с 3:

1. Для k = 3:

n = -(1 + 2*3) / (2 - 3) = -(1 + 6) / (-1) = 7.

2. Для k = 4:

n = -(1 + 2*4) / (2 - 4) = -(1 + 8) / (-2) = 9/2 (не натуральное).

3. Для k = 5:

n = -(1 + 2*5) / (2 - 5) = -(1 + 10) / (-3) = 11/3 (не натуральное).

4. Для k = 6:

n = -(1 + 2*6) / (2 - 6) = -(1 + 12) / (-4) = 13/4 (не натуральное).

5. Для k = 7:

n = -(1 + 2*7) / (2 - 7) = -(1 + 14) / (-5) = 15/5 = 3 (натуральное).

6. Для k = 8:

n = -(1 + 2*8) / (2 - 8) = -(1 + 16) / (-6) = 17/6 (не натуральное).

Таким образом, мы нашли два натуральных n: 7 и 3.

Теперь найдем сумму всех найденных n:

Сумма = 7 + 3 = 10.

Ответ: сумма всех натуральных n, для которых (2n+1):(n-2) является целым числом, равна 10.