Каковы размеры магазина в форме прямоугольного параллелепипеда, чтобы его объем был максимальным, если для наружных стен у нас есть материал длиной 24 м и высотой 3 м?

Алгебра 8 класс Оптимизация объемов фигур алгебра 8 класс объем параллелепипеда размеры магазина максимальный объём наружные стены материал для стен геометрия задачи по алгебре Новый

Для решения задачи о максимизации объема магазина в форме прямоугольного параллелепипеда с заданными размерами материала, нам нужно использовать некоторые математические принципы. Давайте разберем шаги, необходимые для нахождения размеров магазина.

Шаг 1: Определение переменных

• Обозначим длину магазина как "x".
• Ширину магазина обозначим как "y".
• Высота магазина равна 3 метрам (это дано).

Шаг 2: Выражение объема

Объем V прямоугольного параллелепипеда можно выразить как:

V = x * y * h, где h - высота. В нашем случае h = 3, следовательно:

V = 3xy.

Шаг 3: Определение ограничений

Теперь нам нужно учесть, что у нас есть материал для наружных стен. Площадь стен, которую мы можем построить, ограничена 24 метрами длины. Для прямоугольного параллелепипеда у нас есть:

• 2 стороны (длина и высота): 2 * (x * 3)
• 2 стороны (ширина и высота): 2 * (y * 3)
• 2 стороны (длина и ширина): x * y (это основание, но оно не требует материала)

Таким образом, общее количество материала для стен будет:

2 * (x * 3) + 2 * (y * 3) = 6x + 6y.

Это должно быть меньше или равно 24 метрам:

6x + 6y ≤ 24.

Упростим это неравенство, разделив его на 6:

x + y ≤ 4.

Шаг 4: Выражение y через x

Теперь выразим y через x:

y = 4 - x.

Шаг 5: Подставляем y в выражение объема

Теперь подставим y в выражение для объема:

V = 3x(4 - x) = 12x - 3x².

Шаг 6: Нахождение максимума

Чтобы найти максимальное значение объема, необходимо найти производную V и приравнять её к нулю:

dV/dx = 12 - 6x.

Приравняем производную к нулю:

12 - 6x = 0.

Решим это уравнение:

6x = 12, следовательно, x = 2.

Шаг 7: Подставляем x для нахождения y

Теперь подставим найденное значение x в уравнение для y:

y = 4 - 2 = 2.

Шаг 8: Подсчет объема

Теперь у нас есть размеры:

• Длина (x) = 2 метра
• Ширина (y) = 2 метра
• Высота (h) = 3 метра

Объем будет равен:

V = 3 * 2 * 2 = 12 кубических метров.

Итог

Таким образом, размеры магазина, которые обеспечивают максимальный объем, составляют:

• Длина: 2 метра
• Ширина: 2 метра
• Высота: 3 метра

Максимальный объем магазина равен 12 кубическим метрам.