Каковы свойства и графики следующих квадратичных функций, заданных формулами:

1. y = x ^ 2 - 2x + 3
2. y = - (2 - x) ^ 2 - 1
3. y = - 3x ^ 2 - 5
4. y = (- x + 1) ^ 2 + 1
5. y = (x + 1)(1 - x)

Алгебра 8 класс Квадратичные функции и их графики свойства квадратичных функций графики функций алгебра 8 класс функции y = x^2 функции y = - (2 - x)^2 функции y = -3x^2 функции y = (-x + 1)^2 функции y = (x + 1)(1 - x) Новый

Давайте рассмотрим каждую из квадратичных функций и определим их свойства, а также графики.

1. Функция: y = x^2 - 2x + 3

• Эта функция задана в общем виде: y = ax^2 + bx + c, где a = 1, b = -2, c = 3.
• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * 3 = 4 - 12 = -8. Поскольку D < 0, у функции нет действительных корней, и она не пересекает ось x.
• Ветви параболы направлены вверх (так как a > 0).
• Вершина параболы находится по формуле x = -b/(2a) = 2/2 = 1. Подставим x = 1 в уравнение: y = 1^2 - 2*1 + 3 = 2. Таким образом, вершина: (1, 2).

2. Функция: y = - (2 - x)^2 - 1

• Эта функция может быть переписана как y = - (x^2 - 4x + 4) - 1 = -x^2 + 4x - 5.
• Здесь a = -1, b = 4, c = -5. Дискриминант: D = 4^2 - 4 * (-1) * (-5) = 16 - 20 = -4. У функции также нет действительных корней.
• Ветви параболы направлены вниз (так как a < 0).
• Вершина: x = -b/(2a) = -4/(-2) = 2. Подставим x = 2: y = - (2 - 2)^2 - 1 = -1. Вершина: (2, -1).

3. Функция: y = -3x^2 - 5

• Это уравнение также имеет вид y = ax^2 + bx + c, где a = -3, b = 0, c = -5.
• Дискриминант: D = 0^2 - 4 * (-3) * (-5) = 0 - 60 = -60. У функции нет действительных корней.
• Ветви параболы направлены вниз (так как a < 0).
• Вершина: x = -b/(2a) = 0. Подставим x = 0: y = -5. Вершина: (0, -5).

4. Функция: y = (-x + 1)^2 + 1

• Эта функция может быть переписана как y = (x - 1)^2 + 1. Здесь a = 1, b = -2, c = 2.
• Дискриминант: D = (-2)^2 - 4 * 1 * 2 = 4 - 8 = -4. У функции нет действительных корней.
• Ветви параболы направлены вверх (так как a > 0).
• Вершина: x = -(-2)/(2*1) = 1. Подставим x = 1: y = 1 + 1 = 2. Вершина: (1, 2).

5. Функция: y = (x + 1)(1 - x)

• Эта функция может быть преобразована в стандартный вид: y = -x^2 + 1 - x - 1 = -x^2 + 1.
• Здесь a = -1, b = 0, c = 1. Дискриминант: D = 0^2 - 4 * (-1) * 1 = 0 + 4 = 4. У функции есть два действительных корня.
• Ветви параболы направлены вниз (так как a < 0).
• Вершина: x = -b/(2a) = 0. Подставим x = 0: y = 1. Вершина: (0, 1).

Таким образом, мы рассмотрели все пять функций, их свойства и графики. Обратите внимание на расположение вершин и направление ветвей парабол, а также на наличие или отсутствие действительных корней. Это важно для понимания поведения квадратичных функций.