Каковы все натуральные значения n, при которых выражение 24^n - 1 является простым числом?

Алгебра 8 класс Простейшие числа и их свойства алгебра 8 класс натуральные значения n 24^n - 1 простое число решение уравнения свойства простых чисел Новый

Чтобы найти все натуральные значения n, при которых выражение 24ⁿ - 1 является простым числом, начнем с анализа этого выражения.

Простое число - это число, большее 1, которое делится только на 1 и на само себя. Рассмотрим выражение 24ⁿ - 1 для различных значений n:

1. n = 1:
   • Подставляем n = 1: 24¹ - 1 = 24 - 1 = 23.
   • 23 - простое число.
2. n = 2:
   • Подставляем n = 2: 24² - 1 = 576 - 1 = 575.
   • 575 = 5 * 115, значит, не является простым.
3. n = 3:
   • Подставляем n = 3: 24³ - 1 = 13824 - 1 = 13823.
   • 13823 = 7 * 1975, значит, не является простым.
4. n = 4:
   • Подставляем n = 4: 24⁴ - 1 = 576576 - 1 = 576575.
   • 576575 = 5 * 115315, значит, не является простым.

Теперь заметим, что для n ≥ 2 выражение 24ⁿ - 1 всегда делится на 23, так как 24 ≡ 1 (mod 23). Это значит, что для n ≥ 2, 24ⁿ - 1 будет не простым, так как оно будет делиться на 23 и, следовательно, иметь делители, отличные от 1 и самого себя.

Таким образом, единственным натуральным значением n, при котором 24ⁿ - 1 является простым числом, является:

• n = 1