Чтобы определить, какой цифрой оканчивается значение выражения 8³¹ + 3 × 7²⁹; 6 × 2²³ - 3⁵¹, мы можем рассмотреть каждую часть выражения отдельно и найти последнюю цифру каждого слагаемого.

1. Находим последнюю цифру 8³¹:

• Последние цифры степеней числа 8 образуют цикл: 8, 4, 2, 6.
• Определим, какой элемент этого цикла соответствует 8³¹. Для этого найдем 31 по модулю 4 (так как в цикле 4 элемента): 31 mod 4 = 3.
• Это означает, что 8³¹ оканчивается на третью цифру из цикла, а именно на 2.

2. Находим последнюю цифру 3 × 7²⁹:

• Сначала найдем последнюю цифру 7²⁹. Последние цифры степеней числа 7 также образуют цикл: 7, 9, 3, 1.
• Найдем 29 по модулю 4: 29 mod 4 = 1.
• Это означает, что 7²⁹ оканчивается на первую цифру из цикла, то есть на 7.
• Теперь умножим: 3 × 7 = 21, последняя цифра равна 1.

3. Теперь складываем результаты:

• Последняя цифра 8³¹ = 2.
• Последняя цифра 3 × 7²⁹ = 1.
• Складываем: 2 + 1 = 3. Таким образом, последняя цифра выражения 8³¹ + 3 × 7²⁹ равна 3.

4. Теперь находим последнюю цифру 6 × 2²³ - 3⁵¹:

• Сначала находим последнюю цифру 2²³. Последние цифры степеней числа 2: 2, 4, 8, 6.
• Найдем 23 по модулю 4: 23 mod 4 = 3.
• Это означает, что 2²³ оканчивается на третью цифру из цикла, то есть на 8.
• Теперь умножаем: 6 × 8 = 48, последняя цифра равна 8.

• Теперь найдем последнюю цифру 3⁵¹. Последние цифры степеней числа 3: 3, 9, 7, 1.
• Найдем 51 по модулю 4: 51 mod 4 = 3.
• Это означает, что 3⁵¹ оканчивается на третью цифру из цикла, то есть на 7.

5. Теперь вычтем:

• Последняя цифра 6 × 2²³ = 8.
• Последняя цифра 3⁵¹ = 7.
• Вычитаем: 8 - 7 = 1. Таким образом, последняя цифра выражения 6 × 2²³ - 3⁵¹ равна 1.

6. Теперь подводим итог:

• Последняя цифра первого выражения (8³¹ + 3 × 7²⁹) равна 3.
• Последняя цифра второго выражения (6 × 2²³ - 3⁵¹) равна 1.

Таким образом, окончательная последняя цифра всего выражения 8³¹ + 3 × 7²⁹; 6 × 2²³ - 3⁵¹ - это 1.