Чтобы определить, какой прямоугольник, вписанный в окружность радиусом 1 см, имеет максимальную площадь, давайте рассмотрим основные свойства таких фигур.

1. Прямоугольник вписан в окружность, если его углы касаются окружности. Это значит, что диагональ прямоугольника является диаметром окружности.

2. Поскольку радиус окружности равен 1 см, диаметр окружности будет равен 2 см.

3. Обозначим стороны прямоугольника как a и b. Тогда по теореме Пифагора, мы можем записать:

• Диагональ D = √(a² + b²)

Так как D равен 2 см (диаметр окружности), мы имеем:

• √(a² + b²) = 2

4. Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

• a² + b² = 4

5. Площадь прямоугольника S можно выразить как:

• S = a * b

6. Чтобы максимизировать площадь S при условии a² + b² = 4, воспользуемся методом Лагранжа или подберем значения a и b. Однако, проще всего использовать свойство, что при фиксированной сумме квадратов двух величин, их произведение максимизируется, когда эти величины равны.

7. Таким образом, если a = b, то:

• a² + a² = 4
• 2a² = 4
• a² = 2
• a = √2

8. Следовательно, b также будет равно √2.

9. Теперь можем найти максимальную площадь:

• S = a * b = √2 * √2 = 2 см²

Итак, максимальная площадь прямоугольника, вписанного в окружность радиусом 1 см, равна 2 см². Это квадрат со сторонами длиной √2 см.