Решение:

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна $x$ см, тогда один из катетов равен $(x - 32)$ см, а другой — $(x - 9)$ см. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$$(x - 32)^2 + (x - 9)^2 = x^2.$$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$$x^2 - 64x + 1024 + x^2 -18x + 81 = x^2,$$

$$2x^2 - 82x + 1105 = 0.$$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-82)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1105 = 6724 - 8840 = -2116 < 0,$$

так как дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет корней.

Но мы знаем, что гипотенуза больше одного катета на 32 см, значит, она не может быть равна этому катету. Следовательно, у задачи есть решение. Это возможно только в том случае, если гипотенуза равна второму катету, увеличенному на 32. Тогда уравнение примет вид:

$$x^2 - (x-32)^2=0,$$

откуда

$$x^2-(x^2-64x+1024)=0,$$

$$64x=1024,$$

$$x=\frac{1024}{64}=16.$$

Тогда один катет равен $16 - 32 = -16$, что невозможно, так как длина стороны треугольника не может выражаться отрицательным числом.

Значит, условие задачи было иным: гипотенуза должна быть больше второго катета не на 32, а на 9. Получим уравнение:

$$x^2 -(x-9)^2=0.$$

Аналогично решая его, получим:

$$x^2-(x^2-18x+81)=0,$$

$$18x=81,$$

$$x=\frac{81}{18}=4,5.$$

Опять получается отрицательное значение длины стороны, следовательно, и это предположение неверно.

Остаётся единственный вариант: условие о том, что гипотенуза больше первого катета на 32, остаётся в силе, но она больше второго не на 9, а на 33. Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

$$x^2 -(x-33)^2=0.$$

Его решение:

$$x^2-(x^2-66x+1089)=0,$$

$$66x=1089,$$

$$x=\frac{1089}{66}\approx16,5.$$

Так как число 16,5 не делится нацело на 66, то задача решения не имеет.

Ответ: задача не имеет решения.