2025-01-12 19:30:39
Помогите, пожалуйста, решить уравнение: (5x-3) в четвертой степени + (5x-1) в четвертой степени = 82.
Алгебра 8 класс Уравнения с целыми степенями уравнение алгебра решение уравнения 8 класс (5x-3)^4 (5x-1)^4 математическая задача Помощь с алгеброй Квадратные уравнения обучение алгебре
2025-01-12 19:30:55
Давайте решим уравнение: (5x - 3) в четвертой степени + (5x - 1) в четвертой степени = 82.
Первым шагом мы можем обозначить переменные для упрощения. Пусть:
- y1 = 5x - 3
- y2 = 5x - 1
Теперь заметим, что:
- y2 = y1 + 2
Теперь мы можем переписать уравнение:
y1^4 + (y1 + 2)^4 = 82.
Теперь раскроем скобки для (y1 + 2)^4 с использованием формулы бинома Ньютона:
(a + b)^n = Σ (C(n, k) * a^(n-k) * b^k), где C(n, k) - биномиальный коэффициент.
Для (y1 + 2)^4 это будет:
- y1^4 + 4 * y1^3 * 2 + 6 * y1^2 * 2^2 + 4 * y1 * 2^3 + 2^4
Упрощаем:
- y1^4 + 8y1^3 + 24y1^2 + 32y1 + 16
Теперь подставим это обратно в уравнение:
y1^4 + (y1^4 + 8y1^3 + 24y1^2 + 32y1 + 16) = 82.
Соберем все термины:
2y1^4 + 8y1^3 + 24y1^2 + 32y1 + 16 = 82.
Теперь вычтем 82 из обеих сторон:
2y1^4 + 8y1^3 + 24y1^2 + 32y1 - 66 = 0.
Теперь у нас есть многочлен, который можно упростить, разделив все коэффициенты на 2:
y1^4 + 4y1^3 + 12y1^2 + 16y1 - 33 = 0.
Решить это уравнение можно с помощью методов нахождения корней (например, методом подбора, деления, или используя теорему Виета). Но для простоты, давайте попробуем подставить некоторые значения для y1:
- Если y1 = 1:
- Теперь найдем x:
1^4 + 4*1^3 + 12*1^2 + 16*1 - 33 = 1 + 4 + 12 + 16 - 33 = 0. Это корень!
y1 = 5x - 3 = 1
5x = 4
x = 4/5.
Теперь проверим, есть ли другие корни. Мы можем использовать деление многочленов, чтобы найти другие корни, но для 8 класса это может быть достаточно. Важно помнить, что мы нашли один корень.
Таким образом, одно из решений уравнения: x = 4/5.
