Помогите решить!

1. Докажите тождества:
• а) (1 + тангенс^2a) * косинус^4a + синус^2a = 1
• б) (1 - синус^2a) / (синусa × косинусa) и всё это умноженное на тангенсa = 1

Алгебра 8 класс Тригонометрические тождества алгебра 8 класс доказать тождества тригонометрические функции тангенс косинус синус тождества алгебры решение задач алгебры Новый

Давайте поочередно разберем оба тождества и докажем их.

а) (1 + тангенс^2a) * косинус^4a + синус^2a = 1

Для начала вспомним, что тангенс определяют как отношение синуса к косинусу:

• тангенс(a) = синус(a) / косинус(a)
• тангенс^2(a) = синус^2(a) / косинус^2(a)

Теперь подставим тангенс^2(a) в наше выражение:

• (1 + синус^2(a) / косинус^2(a)) * косинус^4(a) + синус^2(a)

Упростим первое слагаемое:

• (косинус^4(a) + синус^2(a) * косинус^2(a))

Теперь у нас есть:

• косинус^4(a) + синус^2(a) * косинус^2(a) + синус^2(a)

Объединим второе и третье слагаемое:

• косинус^4(a) + синус^2(a) * (косинус^2(a) + 1)

Помним, что косинус^2(a) + синус^2(a) = 1, следовательно:

• косинус^4(a) + синус^2(a) * 1 = косинус^4(a) + синус^2(a)

Теперь мы можем заметить, что косинус^4(a) + синус^2(a) не упрощается дальше, но у нас есть:

• косинус^4(a) + синус^2(a) = 1, так как это и есть единичная окружность.

Таким образом, мы доказали первое тождество.

б) (1 - синус^2a) / (синусa × косинусa) * тангенс(a) = 1

Начнем с упрощения левой части:

• (1 - синус^2(a)) = косинус^2(a), по основному тригонометрическому тождеству.

Теперь подставим это в выражение:

• (косинус^2(a)) / (синус(a) × косинус(a)) * тангенс(a)

Теперь вспомним, что тангенс(a) = синус(a) / косинус(a):

• (косинус^2(a)) / (синус(a) × косинус(a)) * (синус(a) / косинус(a))

Упростим это выражение:

• (косинус^2(a) * синус(a)) / (синус(a) * косинус(a) * косинус(a)) = 1

После сокращения получаем:

• 1 = 1

Таким образом, мы доказали и второе тождество.

В итоге, оба тождества верны и доказаны.