Прошу помогите!!!!! Какое количество различных натуральных делителей имеет число, равное 4 в степени 4, умноженное на 5 в степени 3, умноженное на 6 в степени 2, умноженное на 7?

Алгебра 8 класс Деление и делители алгебра 8 класс количество делителей натуральные числа делители числа степень числа факторизация умножение степеней свойства делителей задача по алгебре Новый

Чтобы найти количество различных натуральных делителей числа, представленного в виде произведения степеней простых чисел, нам нужно сначала разложить данное число на простые множители и затем воспользоваться формулой для нахождения количества делителей.

Давайте разложим данное число:

• 4 в степени 4 можно представить как (2^2)^4 = 2^8.
• 5 в степени 3 остается 5^3.
• 6 в степени 2 можно разложить как (2 * 3)^2 = 2^2 * 3^2.
• 7 остается 7^1.

Теперь соберем все множители вместе:

• 2^8 из 4^4,
• 5^3 из 5^3,
• 2^2 * 3^2 из 6^2,
• 7^1 из 7.

Теперь объединим все степени простых множителей:

• 2: 8 + 2 = 10, поэтому у нас 2^10.
• 3: 2, поэтому у нас 3^2.
• 5: 3, поэтому у нас 5^3.
• 7: 1, поэтому у нас 7^1.

Таким образом, наше число можно записать в виде:

N = 2^10 * 3^2 * 5^3 * 7^1

Теперь, чтобы найти количество различных делителей, мы используем формулу:

Если число N имеет разложение на простые множители в виде:

N = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak

где p1, p2, ..., pk - простые числа, а a1, a2, ..., ak - их степени, то количество делителей D(N) вычисляется по формуле:

D(N) = (a1 + 1) * (a2 + 1) * ... * (ak + 1)

Теперь подставим наши значения:

• Для 2^10: a1 = 10, следовательно, a1 + 1 = 11.
• Для 3^2: a2 = 2, следовательно, a2 + 1 = 3.
• Для 5^3: a3 = 3, следовательно, a3 + 1 = 4.
• Для 7^1: a4 = 1, следовательно, a4 + 1 = 2.

Теперь подставим все значения в формулу:

D(N) = (10 + 1) * (2 + 1) * (3 + 1) * (1 + 1) = 11 * 3 * 4 * 2

Посчитаем:

• 11 * 3 = 33,
• 33 * 4 = 132,
• 132 * 2 = 264.

Таким образом, количество различных натуральных делителей числа, равного 4 в степени 4, умноженному на 5 в степени 3, умноженному на 6 в степени 2, умноженному на 7, равно 264.