Чтобы определить количество корней уравнения x^(1/3) = x + 200, давайте проанализируем его подробнее.

Сначала перепишем уравнение в более удобной форме:

x^(1/3) - x - 200 = 0

Теперь нам нужно выяснить, сколько корней имеет это уравнение. Для этого мы можем воспользоваться графическим методом или исследовать функции.

Обозначим функцию:

f(x) = x^(1/3) - x - 200

Теперь найдем производную этой функции, чтобы определить, как она ведет себя:

f'(x) = (1/3)x^(-2/3) - 1

Производная f'(x) показывает, как изменяется функция f(x):

• При x > 0, (1/3)x^(-2/3) положительна, но меньше 1, поэтому f'(x) < 0. Это значит, что функция убывает.
• При x < 0, (1/3)x^(-2/3) также положительна, но f'(x) все равно будет меньше нуля, так как -1 доминирует. Таким образом, функция также убывает и в этой области.

Так как функция f(x) убывает на всей числовой прямой, у нее может быть не более одного корня.

Теперь проверим значения функции в некоторых точках:

• При x = -200:
  • f(-200) = (-200)^(1/3) - (-200) - 200 ≈ -5.848 - (-200) - 200 = -5.848 + 200 - 200 = -5.848 (приблизительно)
• При x = 0:
  • f(0) = 0^(1/3) - 0 - 200 = -200
• При x = 1000:
  • f(1000) = 1000^(1/3) - 1000 - 200 = 10 - 1000 - 200 = -1190
• При x = 1000000:
  • f(1000000) = 1000000^(1/3) - 1000000 - 200 = 100 - 1000000 - 200 = -999100

Мы видим, что функция f(x) принимает отрицательные значения в точках, которые мы проверили, и она убывает. Это значит, что уравнение x^(1/3) = x + 200 имеет ровно один корень.

Таким образом, ответ на вопрос: уравнение имеет один корень.