Чтобы найти количество различных натуральных чисел, для которых разность квадратов равна 2017, мы начнем с формулы разности квадратов:

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Мы можем записать уравнение:

(a - b)(a + b) = 2017

Теперь нам нужно найти такие пары (a - b) и (a + b), которые в произведении дают 2017. Для этого сначала найдем делители числа 2017.

Число 2017 является простым, поэтому его делителями являются 1 и 2017.

Теперь рассмотрим возможные пары (x, y), где x = a - b и y = a + b:

• Первая пара: (1, 2017)
• Вторая пара: (2017, 1)

Теперь для каждой пары мы можем выразить a и b:

1. Для пары (1, 2017):
• x = 1, y = 2017
• Решаем систему:
• a - b = 1
• a + b = 2017
• Сложим уравнения:
• 2a = 2018
• a = 1009
• Теперь подставим a в одно из уравнений:
• 1009 - b = 1
• b = 1008
2. Для пары (2017, 1):
• x = 2017, y = 1
• Решаем систему:
• a - b = 2017
• a + b = 1
• Сложим уравнения:
• 2a = 2018
• a = 1009
• Теперь подставим a в одно из уравнений:
• 1009 - b = 2017
• b = -1008
(что не подходит, так как b должно быть натуральным числом)

Таким образом, из двух пар (1, 2017) и (2017, 1) только первая дает нам натуральные числа:

a = 1009, b = 1008

Следовательно, существует только одно различных натуральных чисел, для которых разность квадратов равна 2017.