Существует ли выпуклый многоугольник, у которого количество диагоналей составляет 12 или 13?

Алгебра 8 класс Комбинаторика многоугольников выпуклый многоугольник количество диагоналей 12 диагоналей 13 диагоналей алгебра 8 класс Новый

Чтобы ответить на вопрос о существовании выпуклого многоугольника с количеством диагоналей, равным 12 или 13, мы можем воспользоваться формулой для вычисления количества диагоналей в выпуклом многоугольнике.

Количество диагоналей D в выпуклом многоугольнике с n вершинами вычисляется по формуле:

D = (n * (n - 3)) / 2

Теперь давайте рассмотрим два случая: когда D = 12 и когда D = 13.

1. Для D = 12:
• Подставим 12 в формулу:
• (n * (n - 3)) / 2 = 12
• Умножим обе стороны на 2:
• n * (n - 3) = 24
• Решим уравнение:
• n^2 - 3n - 24 = 0
• Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
• D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-24) = 9 + 96 = 105
• Корни уравнения:
• n = (3 ± √105) / 2
• Так как n должно быть целым положительным числом, проверим целые значения n. При n = 8:
• (8 * (8 - 3)) / 2 = (8 * 5) / 2 = 20, не подходит.
• При n = 9:
• (9 * (9 - 3)) / 2 = (9 * 6) / 2 = 27, не подходит.
• При n = 10:
• (10 * (10 - 3)) / 2 = (10 * 7) / 2 = 35, не подходит.
• При n = 7:
• (7 * (7 - 3)) / 2 = (7 * 4) / 2 = 14, не подходит.
• Таким образом, многоугольник с 12 диагоналями не существует.
2. Для D = 13:
• Подставим 13 в формулу:
• (n * (n - 3)) / 2 = 13
• Умножим обе стороны на 2:
• n * (n - 3) = 26
• Решим уравнение:
• n^2 - 3n - 26 = 0
• Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
• D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-26) = 9 + 104 = 113
• Корни уравнения:
• n = (3 ± √113) / 2
• Проверим целые значения n. При n = 8:
• (8 * (8 - 3)) / 2 = 20, не подходит.
• При n = 9:
• (9 * (9 - 3)) / 2 = 27, не подходит.
• При n = 10:
• (10 * (10 - 3)) / 2 = 35, не подходит.
• При n = 7:
• (7 * (7 - 3)) / 2 = 14, не подходит.
• Таким образом, многоугольник с 13 диагоналями также не существует.

В итоге, выпуклые многоугольники с 12 и 13 диагоналями не существуют.