Для того чтобы найти путь, который пройдет тело за промежуток времени от t = 1 с до t = 2 с, нам нужно использовать функцию скорости v(t) и интегрировать ее на заданном интервале времени.

Сначала запишем функцию скорости:

v(t) = t^2 + t

Теперь, чтобы найти путь, нужно вычислить интеграл скорости по времени на интервале от 1 до 2:

S = ∫(v(t) dt) от t=1 до t=2

Теперь подставим в интеграл нашу функцию скорости:

S = ∫(t^2 + t) dt от t=1 до t=2

Сначала найдем неопределенный интеграл:

• ∫(t^2) dt = (t^3)/3 + C
• ∫(t) dt = (t^2)/2 + C

Теперь объединим оба результата:

∫(t^2 + t) dt = (t^3)/3 + (t^2)/2 + C

Теперь подставим пределы интегрирования от 1 до 2:

S = [(t^3)/3 + (t^2)/2] от t=1 до t=2

Сначала подставим верхний предел (t = 2):

• При t = 2: S(2) = (2^3)/3 + (2^2)/2 = 8/3 + 2 = 8/3 + 6/3 = 14/3

Теперь подставим нижний предел (t = 1):

• При t = 1: S(1) = (1^3)/3 + (1^2)/2 = 1/3 + 1/2 = 1/3 + 3/6 = 1/3 + 2/6 = 3/6 + 2/6 = 5/6

Теперь вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

S = S(2) - S(1) = (14/3) - (5/6)

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 6 — это 6:

• (14/3) = (14 * 2)/(3 * 2) = 28/6

Теперь можем вычесть:

S = (28/6) - (5/6) = (28 - 5)/6 = 23/6

Таким образом, путь, который пройдет тело за промежуток времени от t = 1 с до t = 2 с, равен 23/6 метров или примерно 3.83 метра.