В параллелограмме ABCD сторона BC в два раза длиннее стороны AB. Точка E является серединой стороны BC. Как можно доказать, что отрезок AE является биссектрисой угла BAD?

Алгебра 8 класс Биссектрисы и свойства параллелограммов алгебра 8 класс параллелограмм сторона BC сторона AB точка E середина отрезок AE биссектрисa угол BAD доказательство геометрия свойства параллелограмма треугольники Углы Новый

Для того чтобы доказать, что отрезок AE является биссектрисой угла BAD в параллелограмме ABCD, давайте рассмотрим следующее:

1. Определим длины сторон параллелограмма:

• Пусть длина стороны AB равна x.
• Тогда длина стороны BC, согласно условию, будет равна 2x.

2. Найдем координаты точек параллелограмма:

• Пусть точка A имеет координаты (0, 0).
• Тогда точка B будет (x, 0).
• Точка D, находясь на одной вертикали с A, может быть (0, h) (где h - высота параллелограмма).
• Точка C, находясь на одной вертикали с B, будет (x, h).

3. Найдем координаты точки E:

Точка E является серединой стороны BC. Поэтому ее координаты можно найти следующим образом:

• Координаты точки C: (x, h).
• Координаты точки B: (x, 0).
• Координаты точки E: ((x + x)/2, (0 + h)/2) = (x, h/2).

4. Рассмотрим треугольник ABE:

Теперь нам нужно показать, что отрезок AE делит угол BAD пополам. Для этого воспользуемся свойством углов и длинами отрезков:

5. Найдем длины отрезков:

• Длина отрезка AB = x.
• Длина отрезка AE = √((x - 0)² + (h/2 - 0)²) = √(x² + h²/4).
• Длина отрезка AD = √((0 - 0)² + (h - 0)²) = h.

6. Применим теорему о биссектрисе:

Согласно теореме о биссектрисе, отрезок AE будет являться биссектрисой угла BAD, если:

Доля длин отрезков:

Сравним:

• AB / AD = AE / AE,
• где AB = x и AD = h.

7. Заключение:

Так как отрезок AE делит угол BAD пополам, и выполняется условие о пропорциональности, то мы можем утверждать, что отрезок AE действительно является биссектрисой угла BAD.

Таким образом, мы доказали, что отрезок AE является биссектрисой угла BAD в параллелограмме ABCD.