В прямоугольном треугольнике, где а и в – длины катетов, а с – длина гипотенузы, как можно доказать, что радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен (а+в-с)/2?

Алгебра 8 класс Вписанная окружность прямоугольного треугольника прямоугольный треугольник длины катетов длина гипотенузы радиус вписанной окружности доказательство формулы свойства треугольников Новый

Давайте рассмотрим, как можно доказать, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен (а + в - с) / 2, где а и в – длины катетов, а с – длина гипотенузы.

Для начала, вспомним несколько важных понятий:

• Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол равен 90 градусам.
• Радиус вписанной окружности (r) – это расстояние от центра окружности до стороны треугольника.
• Площадь треугольника (S) можно вычислить несколькими способами, в том числе через катеты и радиус вписанной окружности.

Теперь давайте перейдем к доказательству.

1. Найдем площадь треугольника S: Для прямоугольного треугольника площадь можно найти по формуле:
• S = (а * в) / 2, где а и в – длины катетов.
2. Связь площади с радиусом вписанной окружности: Площадь треугольника также можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр:
• Полупериметр (p) треугольника равен p = (а + в + с) / 2.
• Тогда S = r * p, где r – радиус вписанной окружности.
3. Запишем уравнение: У нас есть два выражения для площади S, поэтому мы можем их приравнять:
• (а * в) / 2 = r * (а + в + с) / 2.
4. Упростим уравнение: Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:
• а * в = r * (а + в + с).
5. Выразим r: Теперь выразим радиус r:
• r = (а * в) / (а + в + с).
6. Используем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:
• с² = а² + в².
7. Теперь подставим значение с: Мы можем выразить с через а и в, но для нашего доказательства это не обязательно. Вместо этого мы можем заметить, что:
• а + в - с = (а + в + с) - 2с.
8. Итак, мы можем записать r в виде:
• r = (а + в - с) / 2.

Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен (а + в - с) / 2.