2024-11-28 22:08:05
В треугольник с основанием a и высотой h вписан прямоугольник, одна сторона которого лежит на основании треугольника. Какова максимальная площадь этого прямоугольника?
Алгебра 8 класс Оптимизация площадей в геометрии алгебра 8 класс треугольник основание высота вписанный прямоугольник максимальная площадь геометрия задачи по алгебре площадь прямоугольника
2024-11-28 22:08:05
Чтобы найти максимальную площадь прямоугольника, вписанного в треугольник с основанием a и высотой h, начнем с того, что одна сторона прямоугольника лежит на основании треугольника. Обозначим высоту прямоугольника как y, а его основание как x.
По геометрии треугольника, когда мы опускаем вертикальную линию от вершины треугольника до основания, мы можем выразить длину x через высоту y:
- Согласно подобию треугольников, мы можем записать следующее соотношение:
x/a = (h - y)/h
Из этого уравнения выразим x:
- x = (a/h) * (h - y)
Теперь мы можем выразить площадь S прямоугольника как произведение его основания и высоты:
S = x * y
Подставив выражение для x, получаем:
- S = (a/h) * (h - y) * y
Раскроем скобки:
S = (a/h) * (hy - y²)
Теперь у нас есть квадратная функция относительно y. Чтобы найти максимальное значение площади, найдем производную S и приравняем ее к нулю:
S' = a/h * (h - 2y)
Приравняем производную к нулю:
- a/h * (h - 2y) = 0
Решая это уравнение, находим:
- h - 2y = 0
- 2y = h
- y = h/2
Теперь подставим найденное значение y обратно в формулу для площади:
S(h/2) = (a/h) * (h - h/2) * (h/2)
Упростим это выражение:
S(h/2) = (a/h) * (h/2) * (h/2) = (a/4) * h
Таким образом, максимальная площадь прямоугольника, вписанного в треугольник, равна:
S = ah/4Это означает, что максимальная площадь прямоугольника достигается, когда его высота составляет половину высоты треугольника.
