В треугольник с основанием a и высотой h вписан прямоугольник, одна сторона которого лежит на основании треугольника. Какова максимальная площадь этого прямоугольника?

Алгебра 8 класс Оптимизация площадей в геометрии алгебра 8 класс треугольник основание высота вписанный прямоугольник максимальная площадь геометрия задачи по алгебре площадь прямоугольника Новый

Чтобы найти максимальную площадь прямоугольника, вписанного в треугольник с основанием a и высотой h, начнем с того, что одна сторона прямоугольника лежит на основании треугольника. Обозначим высоту прямоугольника как y, а его основание как x.

По геометрии треугольника, когда мы опускаем вертикальную линию от вершины треугольника до основания, мы можем выразить длину x через высоту y:

• Согласно подобию треугольников, мы можем записать следующее соотношение:

x/a = (h - y)/h

Из этого уравнения выразим x:

• x = (a/h) * (h - y)

Теперь мы можем выразить площадь S прямоугольника как произведение его основания и высоты:

S = x * y

Подставив выражение для x, получаем:

• S = (a/h) * (h - y) * y

Раскроем скобки:

S = (a/h) * (hy - y²)

Теперь у нас есть квадратная функция относительно y. Чтобы найти максимальное значение площади, найдем производную S и приравняем ее к нулю:

S' = a/h * (h - 2y)

Приравняем производную к нулю:

• a/h * (h - 2y) = 0

Решая это уравнение, находим:

• h - 2y = 0
• 2y = h
• y = h/2

Теперь подставим найденное значение y обратно в формулу для площади:

S(h/2) = (a/h) * (h - h/2) * (h/2)

Упростим это выражение:

S(h/2) = (a/h) * (h/2) * (h/2) = (a/4) * h

Таким образом, максимальная площадь прямоугольника, вписанного в треугольник, равна:

S = ah/4

Это означает, что максимальная площадь прямоугольника достигается, когда его высота составляет половину высоты треугольника.