Давайте решим задачу шаг за шагом, используя свойства треугольников и некоторые геометрические соотношения.

1. Начнем с того, что у нас есть треугольник ABC, где точка M - это середина стороны AC. Это значит, что AM = MC.

2. У нас есть следующие углы:

• Угол BMA = 90°
• Угол ABC = 30°
• Угол BAM = 60°

3. Теперь мы можем найти угол AMB. Угол BMA уже равен 90°, следовательно:

• Угол AMB = 180° - (угол BAM + угол BMA) = 180° - (60° + 90°) = 30°

4. Теперь у нас есть треугольник ABM. В этом треугольнике мы знаем два угла: угол BAM = 60° и угол AMB = 30°. Чтобы найти угол ABM, используем свойство суммы углов в треугольнике:

• Угол ABM = 180° - (угол BAM + угол AMB) = 180° - (60° + 30°) = 90°

5. Теперь мы знаем, что угол ABM = 90°. Поскольку угол ABC = 30°, то угол MBC можно найти как:

• Угол MBC = угол ABC - угол ABM = 30° - 90° = -60°

Однако, это невозможно, так как угол не может быть отрицательным. Мы должны пересмотреть нашу интерпретацию. Поскольку M - это середина AC, угол MBC будет равен углу ABC, а угол BCA можно найти следующим образом:

6. Угол BCA = 180° - (угол ABC + угол BAM) = 180° - (30° + 60°) = 90°.

Таким образом, мы пришли к следующему результату:

• Угол MBC = 30°
• Угол BCA = 90°

Ответ: угол MBC = 30°, угол BCA = 90°.