Вопрос: Найдите четыре действительных числа, из которых первые три образуют геометрическую прогрессию, а последние три - арифметическую прогрессию. При этом сумма крайних членов равна 14, а сумма средних членов равна 12.

Алгебра 8 класс Геометрическая и арифметическая прогрессия алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия арифметическая прогрессия действительные числа сумма членов прогрессии задачи на прогрессии математические задачи решение уравнений свойства прогрессий учебные материалы алгебра Новый

Давайте решим задачу о нахождении четырех действительных чисел, где первые три образуют геометрическую прогрессию, а последние три - арифметическую прогрессию.

Обозначим наши числа следующим образом:

• a - первое число
• b - второе число
• c - третье число
• d - четвертое число

Сначала запишем условия задачи:

• Первые три числа (a, b, c) образуют геометрическую прогрессию, что означает, что выполняется равенство: b^2 = ac.
• Последние три числа (b, c, d) образуют арифметическую прогрессию, что дает нам уравнение: c = (b + d) / 2.
• Сумма крайних членов равна 14: a + d = 14.
• Сумма средних членов равна 12: b + c = 12.

Теперь выразим c из второго уравнения:

c = 12 - b

Подставим это значение c в уравнение арифметической прогрессии:

12 - b = (b + d) / 2

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

24 - 2b = b + d

Теперь выразим d:

d = 24 - 3b

Теперь подставим d в первое уравнение:

a + (24 - 3b) = 14

Это можно упростить до:

a = 14 - 24 + 3b = 3b - 10

Теперь у нас есть выражения для a, c и d через b. Мы можем подставить их в уравнение геометрической прогрессии:

b^2 = (3b - 10)(12 - b)

Раскроем скобки:

b^2 = 36b - 3b^2 - 120

Соберем все в одну сторону:

4b^2 - 46b + 120 = 0

Разделим на 4 для упрощения:

b^2 - 11.5b + 30 = 0

Теперь найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-11.5)^2 - 4 * 1 * 30 = 132.25 - 120 = 12.25

Теперь найдем корни уравнения:

• b_1 = (11.5 + sqrt(12.25)) / 2 = (11.5 + 3.5) / 2 = 7
• b_2 = (11.5 - sqrt(12.25)) / 2 = (11.5 - 3.5) / 2 = 4

Теперь подставим значения b обратно, чтобы найти соответствующие a, c и d:

Для b = 4:

• c = 12 - 4 = 8
• d = 24 - 3*4 = 12
• a = 3*4 - 10 = 2

Для b = 7:

• c = 12 - 7 = 5
• d = 24 - 3*7 = 3
• a = 3*7 - 10 = 11

Таким образом, мы получаем два набора решений:

• Первый набор: (2, 4, 8, 12)
• Второй набор: (11, 7, 5, 3)

Эти четыре числа соответствуют всем условиям задачи: первые три числа образуют геометрическую прогрессию, а последние три - арифметическую прогрессию. Суммы крайних и средних членов также удовлетворяют заданным условиям. Таким образом, решения задачи завершены.