Вопрос по алгебре: Какое количество членов арифметической прогрессии с разностью 0,5 необходимо выбрать, чтобы их сумма составила 175, если первый член равен наибольшему целому решению неравенства 2x² - 13x - 34 < 0?

Алгебра 8 класс Арифметическая прогрессия и неравенства алгебра 8 класс арифметическая прогрессия сумма прогрессии неравенство решение неравенства первый член прогрессии разность прогрессии количество членов математические задачи алгебраические выражения Новый

Для того чтобы решить эту задачу, начнем с того, что нам нужно найти наибольшее целое решение неравенства:

2x² - 13x - 34 < 0.

Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

2x² - 13x - 34 = 0.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 2, b = -13, c = -34.

Подставим значения:

b² - 4ac = (-13)² - 4 * 2 * (-34) = 169 + 272 = 441.

Теперь находим корни:

x = (13 ± √441) / 4 = (13 ± 21) / 4.

Таким образом, у нас есть два корня:

• x₁ = (13 + 21) / 4 = 34 / 4 = 8.5,
• x₂ = (13 - 21) / 4 = -8 / 4 = -2.

Теперь, чтобы найти наибольшее целое решение неравенства 2x² - 13x - 34 < 0, мы берем целое число, меньшее 8.5. Это число равно 8.

Теперь, когда мы знаем, что первый член арифметической прогрессии (a₁) равен 8, можем перейти к следующему этапу.

Разность прогрессии (d) равна 0.5. Сумма первых n членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:

Sₙ = n/2 * (2a₁ + (n - 1)d),

где Sₙ - сумма первых n членов, a₁ - первый член, d - разность, n - количество членов.

Подставим известные значения:

Sₙ = n/2 * (2 * 8 + (n - 1) * 0.5) = n/2 * (16 + 0.5n - 0.5) = n/2 * (15.5 + 0.5n).

Теперь у нас есть уравнение для суммы, которая равна 175:

175 = n/2 * (15.5 + 0.5n).

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

350 = n * (15.5 + 0.5n).

Раскроем скобки:

350 = 15.5n + 0.5n².

Перепишем уравнение в стандартной форме:

0.5n² + 15.5n - 350 = 0.

Умножим все на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

n² + 31n - 700 = 0.

Теперь снова используем формулу для нахождения корней:

b² - 4ac = 31² - 4 * 1 * (-700) = 961 + 2800 = 3761.

Теперь находим корни:

n = (-31 ± √3761) / 2.

Посчитаем √3761, это примерно 61.3.

Таким образом, у нас есть два корня:

• n₁ = (-31 + 61.3) / 2 ≈ 15.15,
• n₂ = (-31 - 61.3) / 2 ≈ -46.15.

Поскольку количество членов прогрессии должно быть положительным целым числом, берем n = 15.

Таким образом, необходимое количество членов арифметической прогрессии, чтобы их сумма составила 175, равно 15.