Вопрос:

1. Разложите на множители:
• а) 81а^4-1
• б) у^2-х^2-6х-9
2. Докажите, что выражение -а+4а-9 может принимать лишь отрицательные значения.

Алгебра 8 класс Разложение на множители и анализ выражений алгебра 8 класс разложение на множители 81а^4-1 у^2-х^2-6х-9 доказательство отрицательные значения выражение математические задачи Новый

Давайте разложим данные выражения на множители по очереди.

а) 81а^4 - 1

Это выражение является разностью квадратов, так как 81а^4 можно представить как (9а^2)^2, а 1 - как 1^2. Разность квадратов разлагается по формуле:

(x^2 - y^2) = (x - y)(x + y).

1. Определяем x и y: x = 9а^2, y = 1.
2. Применяем формулу: 81а^4 - 1 = (9а^2 - 1)(9а^2 + 1).
3. Теперь разложим (9а^2 - 1) еще раз, так как это тоже разность квадратов:
4. Определяем x и y для этого выражения: x = 3а, y = 1.
5. Применяем формулу: 9а^2 - 1 = (3а - 1)(3а + 1).

Таким образом, окончательное разложение будет:

81а^4 - 1 = (3а - 1)(3а + 1)(9а^2 + 1).

б) у^2 - х^2 - 6х - 9

Сначала упростим выражение. Мы можем сгруппировать последние два члена:

1. Переписываем: у^2 - (х^2 + 6х + 9).
2. Обратите внимание, что х^2 + 6х + 9 является полным квадратом: (х + 3)^2.
3. Теперь выражение принимает вид: у^2 - (х + 3)^2.

Это также разность квадратов, и мы можем использовать ту же формулу:

Теперь разложим на множители:

у^2 - (х + 3)^2 = (у - (х + 3))(у + (х + 3)).

Таким образом, окончательное разложение будет:

у^2 - х^2 - 6х - 9 = (у - х - 3)(у + х + 3).

Теперь перейдем к доказательству, что выражение -а + 4а - 9 может принимать лишь отрицательные значения.

Сначала упростим данное выражение:

• Соберем подобные члены: -а + 4а - 9 = 3а - 9.

Теперь рассмотрим это выражение:

3а - 9.

Чтобы выяснить, может ли это выражение принимать положительные значения, решим неравенство:

1. 3а - 9 > 0.
2. Добавим 9 к обеим частям: 3а > 9.
3. Разделим обе части на 3: а > 3.

Таким образом, выражение 3а - 9 будет положительным, если а больше 3. Это значит, что при а ≤ 3, выражение будет отрицательным.

Следовательно, выражение -а + 4а - 9 может принимать лишь отрицательные значения, если а ≤ 3.