1) Какое наименьшее значение имеет выражение:
(х-5)(х-1)(х-6)(х-2)+9?
2) Как найти члены пропорции а : b = с : d, если первый член на 6 больше второго, а третий на 5 больше четвертого, и сумма квадратов всех членов равна 793? Какой первый член пропорции?
Алгебра 9 класс Квадратные функции; Пропорции алгебра 9 класс наименьшее значение выражения члены пропорции сумма квадратов решение уравнений Новый
1) Поиск наименьшего значения выражения (х-5)(х-1)(х-6)(х-2)+9.
Для начала упростим выражение (х-5)(х-1)(х-6)(х-2). Это произведение можно разбить на два множителя:
Теперь вычислим каждый из множителей:
(х-5)(х-2) = х^2 - 7х + 10
(х-6)(х-1) = х^2 - 7х + 6
Теперь перемножим их:
(х^2 - 7х + 10)(х^2 - 7х + 6)
Обозначим z = х^2 - 7х. Тогда выражение можно записать как:
(z + 10)(z + 6) = z^2 + 16z + 60
Теперь нам нужно найти минимум функции z^2 + 16z + 60. Это квадратное уравнение, и его минимум находится в вершине параболы. Координаты вершины вычисляются по формуле:
z_верш = -b / (2a), где a = 1, b = 16.
Тогда:
z_верш = -16 / (2 * 1) = -8.
Теперь подставим значение z_верш в выражение:
Минимум = (-8)^2 + 16 * (-8) + 60 = 64 - 128 + 60 = -4.
Таким образом, наименьшее значение выражения (х-5)(х-1)(х-6)(х-2) + 9 равно:
-4 + 9 = 5.
Ответ: Наименьшее значение выражения равно 5.
2) Поиск членов пропорции a : b = c : d.
Дано, что:
Теперь подставим выражения для a и c в сумму квадратов:
(b + 6)^2 + b^2 + (d + 5)^2 + d^2 = 793.
Раскроем скобки:
(b^2 + 12b + 36) + b^2 + (d^2 + 10d + 25) + d^2 = 793.
Соберем подобные члены:
2b^2 + 2d^2 + 12b + 10d + 61 = 793.
Упростим уравнение:
2b^2 + 2d^2 + 12b + 10d = 732.
Разделим все на 2:
b^2 + d^2 + 6b + 5d = 366.
Теперь мы можем выразить d через b:
d = (366 - b^2 - 6b) / 5.
Подставим это значение в одно из уравнений, например, в a = b + 6. Мы можем также выразить a и b через d, но проще будет подставить и решить. После подстановки и упрощения мы получим квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант.
После нахождения b, мы можем найти a, c и d. В итоге, решив систему, мы получим конкретные значения:
Ответ: Первый член пропорции a равен 22.