1. Сколько решений у системы уравнений: { x^2 + y^2 = 9; y = x^2 }?

2. Какова область определения выражения: √((x^2 - 25) / (x^2 + x + 7))?

Алгебра 9 класс Системы уравнений и область определения функций система уравнений решения уравнений область определения алгебра 9 класс Квадратные уравнения корень из выражения Новый

Давайте разберем оба вопроса по порядку.

1. Сколько решений у системы уравнений: { x^2 + y^2 = 9; y = x^2 }?

Первая часть системы уравнений - это уравнение окружности с центром в точке (0,0) и радиусом 3, так как x^2 + y^2 = 9.

Вторая часть системы - это уравнение параболы, открытой вверх, y = x^2.

Чтобы найти количество решений системы, нужно подставить выражение y = x^2 во второе уравнение:

1. Подставляем: x^2 + (x^2)^2 = 9.
2. Получаем: x^2 + x^4 = 9.
3. Приведем уравнение к стандартному виду: x^4 + x^2 - 9 = 0.

Теперь сделаем замену: пусть z = x^2. Тогда уравнение примет вид:

1. z^2 + z - 9 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

1. Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*(-9) = 1 + 36 = 37.

Поскольку дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня. Теперь найдем корни:

1. z1,2 = (-b ± √D) / (2a) = (-1 ± √37) / 2.

Так как z = x^2, и мы ищем только неотрицательные значения, то оба корня z1 и z2 будут положительными.

Это значит, что для каждого значения z мы можем найти два значения x (положительное и отрицательное), и следовательно, для каждого значения z мы можем найти соответствующее значение y = x^2.

Таким образом, у нас будет 4 решения (по 2 для каждого корня z). Ответ: 4 решения.

2. Какова область определения выражения: √((x^2 - 25) / (x^2 + x + 7))?

Чтобы найти область определения данного выражения, нужно выполнить следующие шаги:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: (x^2 - 25) / (x^2 + x + 7) ≥ 0.
2. Знаменатель не должен равняться нулю: x^2 + x + 7 ≠ 0.

Начнем с первого условия:

Рассмотрим числитель: x^2 - 25 = 0. Это уравнение имеет корни:

1. x^2 = 25, следовательно, x = ±5.

Теперь определим, при каких значениях x дробь (x^2 - 25) / (x^2 + x + 7) будет неотрицательной. Для этого нужно исследовать знаки числителя и знаменателя.

Числитель (x^2 - 25) меняет знак в точках x = -5 и x = 5:

• При x < -5: (числитель отрицательный)
• При -5 < x < 5: (числитель положительный)
• При x > 5: (числитель положительный)

Теперь рассмотрим знаменатель x^2 + x + 7. Это квадратный трёхчлен, который всегда положителен, так как его дискриминант D = 1^2 - 4*1*7 = 1 - 28 = -27 (отрицательный). Значит, он не может равняться нулю.

Теперь мы можем заключить, что дробь (x^2 - 25) / (x^2 + x + 7) неотрицательна в следующих интервалах:

• x ∈ (-∞, -5] ∪ [5, +∞).

Таким образом, область определения выражения: x ∈ (-∞, -5] ∪ [5, +∞).