Дана функция: f(x)=-x^3+3x+2

1. Как найти промежутки возрастания и убывания функции?
2. Как определить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [1:3]?

Алгебра 9 класс Анализ функции Новый

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, а также определить наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке, следуйте следующим шагам:

1. Найдите производную функции.

   Для начала нам нужно найти производную функции f(x) = -x^3 + 3x + 2. Производная функции будет f'(x). Используем правила дифференцирования:

   • Производная от -x^3 равна -3x^2.
   • Производная от 3x равна 3.
   • Производная от константы 2 равна 0.

   Таким образом, f'(x) = -3x^2 + 3.

2. Найдите критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Решим уравнение f'(x) = 0:

   -3x^2 + 3 = 0

   -3(x^2 - 1) = 0

   x^2 - 1 = 0

   (x - 1)(x + 1) = 0

   Отсюда x = 1 и x = -1.

3. Определите интервалы возрастания и убывания.

   Для этого исследуем знаки производной на интервалах, которые получаются из критических точек: (-∞, -1), (-1, 1), (1, ∞).

   • На интервале (-∞, -1) выберем тестовую точку, например, x = -2. Подставляем в производную: f'(-2) = -3(-2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9. Производная отрицательна, значит функция убывает на этом интервале.
   • На интервале (-1, 1) выберем тестовую точку, например, x = 0. Подставляем в производную: f'(0) = -3(0)^2 + 3 = 3. Производная положительна, значит функция возрастает на этом интервале.
   • На интервале (1, ∞) выберем тестовую точку, например, x = 2. Подставляем в производную: f'(2) = -3(2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9. Производная отрицательна, значит функция убывает на этом интервале.
4. Определите наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [1, 3].

   Для этого необходимо вычислить значения функции в критических точках, которые попадают в этот промежуток, и на концах промежутка.

   • Критическая точка x = 1 находится внутри промежутка. Вычисляем f(1):

   f(1) = -(1)^3 + 3(1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4.

   • Вычисляем значение функции на концах промежутка:
   • f(1) уже вычислили, это 4.
   • f(3) = -(3)^3 + 3(3) + 2 = -27 + 9 + 2 = -16.

   Теперь сравниваем значения: f(1) = 4 и f(3) = -16. Наибольшее значение функции на промежутке [1, 3] равно 4, а наименьшее равно -16.