Чтобы найти первообразные функции f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1, нам нужно выполнить интегрирование этой функции. Первообразная функции - это функция, производная которой равна данной функции. Мы будем использовать стандартные правила интегрирования для каждого члена функции.

Шаги решения:

1. Рассмотрим каждый член функции отдельно:
• Первый член: 2x^3
• Второй член: -3x^2
• Третий член: 1
2. Применим правило интегрирования для каждого члена:
• Интеграл от 2x^3:
  • Используем правило: ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная константа.
  • Здесь n = 3, следовательно, ∫2x^3 dx = 2 * (x^(3+1))/(3+1) = 2 * (x^4)/4 = (1/2)x^4.
• Интеграл от -3x^2:
  • Здесь n = 2, следовательно, ∫-3x^2 dx = -3 * (x^(2+1))/(2+1) = -3 * (x^3)/3 = -x^3.
• Интеграл от 1:
  • ∫1 dx = x.
3. Теперь соберем все результаты вместе:
• ∫f(x) dx = (1/2)x^4 - x^3 + x + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 равна:

F(x) = (1/2)x^4 - x^3 + x + C.