Докажите, что из равенства x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx следует, что x = y = z.

Ааа, спасите пожалуйста!!! :(

Алгебра 9 класс Неравенства и равенства в алгебре алгебра 9 класс доказательство равенства x^2 + y^2 + z^2 xy + yz + zx равенство x = y = z Новый

Давайте разберем данное равенство по шагам и докажем, что из равенства x² + y² + z² = xy + yz + zx следует, что x = y = z.

Начнем с того, что мы можем переписать данное равенство, чтобы лучше понять его структуру. Переносим все члены в одну сторону:

x² + y² + z² - xy - yz - zx = 0

Теперь мы можем сгруппировать и упростить это выражение. Для этого воспользуемся следующим трюком: добавим и вычтем (1/2)(x - y)², (1/2)(y - z)² и (1/2)(z - x)². Это поможет нам представить уравнение в виде суммы квадратов:

Мы можем записать:

(x - y)² + (y - z)² + (z - x)² = 0

Теперь давайте проанализируем, что означает это равенство. Сумма квадратов равна нулю только в том случае, если каждый из квадратов равен нулю. Это значит, что:

• (x - y)² = 0,
• (y - z)² = 0,
• (z - x)² = 0.

Из каждого из этих уравнений следует, что:

• x - y = 0, что означает x = y;
• y - z = 0, что означает y = z;
• z - x = 0, что означает z = x.

Таким образом, мы пришли к выводу, что x = y = z.

Итак, мы доказали, что из равенства x² + y² + z² = xy + yz + zx следует, что x = y = z.