Докажите, что многочлен x^2-2x+y^2-4y+6 всегда принимает положительные значения для любых значений переменных x и y.

Алгебра 9 класс Исследование многочленов и их свойства многочлен положительные значения алгебра 9 класс доказательство переменные x и y Новый

Для доказательства того, что многочлен P(x, y) = x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6 всегда принимает положительные значения, мы можем использовать метод завершения квадрата.

Начнем с преобразования каждого из квадратных выражений в многочлене:

1. Рассмотрим первую часть: x^2 - 2x. Мы можем завершить квадрат:
• x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1.
2. Теперь рассмотрим вторую часть: y^2 - 4y. Также завершаем квадрат:
• y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4.

Теперь подставим эти преобразования обратно в наш многочлен P(x, y):

P(x, y) = (x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + 6.

Упростим это выражение:

P(x, y) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1.

Теперь мы видим, что P(x, y) состоит из суммы квадратов и положительного числа:

• (x - 1)^2 всегда неотрицательно (т.е. больше или равно 0) для любых значений x.
• (y - 2)^2 также всегда неотрицательно для любых значений y.
• Таким образом, сумма (x - 1)^2 + (y - 2)^2 всегда больше или равна 0.

Добавляя 1, мы получаем, что:

P(x, y) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1 >= 0 + 1 = 1.

Следовательно, P(x, y) всегда больше или равно 1, что означает, что многочлен x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6 всегда принимает положительные значения для любых значений переменных x и y.

Таким образом, мы доказали, что данный многочлен всегда положителен.