Докажите, что указанные неравенства верны для любых значений переменных:

1. 2x^2 + 6xy + 11y^2 ≥ 0
2. 4xy - 6x^2 - 3y^2 ≤ 0

Алгебра 9 класс Неравенства и их свойства неравенства алгебра доказательство 9 класс переменные математический анализ Квадратные неравенства Новый

Давайте рассмотрим оба неравенства по отдельности и докажем, что они верны для любых значений переменных x и y.

1. Неравенство: 2x^2 + 6xy + 11y^2 ≥ 0

Это неравенство представляет собой квадратичную форму по переменным x и y. Чтобы доказать, что оно неотрицательно, можно использовать метод дискриминанта.

• Запишем неравенство в виде: 2x^2 + 6xy + 11y^2 = 0.
• Рассмотрим его как квадратный trinomial относительно x: 2x^2 + 6xy + 11y^2.
• Дискриминант D этой квадратичной формы равен: D = (6y)^2 - 4 * 2 * 11y^2 = 36y^2 - 88y^2 = -52y^2.

Так как D < 0 для любого значения y (кроме y = 0, где выражение равно нулю), это означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, и парабола открыта вверх. Следовательно, выражение 2x^2 + 6xy + 11y^2 всегда неотрицательно для любых x и y.

2. Неравенство: 4xy - 6x^2 - 3y^2 ≤ 0

Рассмотрим это неравенство также как квадратичную форму, но теперь мы можем выразить его в виде:

• Запишем неравенство: 4xy - 6x^2 - 3y^2 = 0.
• Это также можно рассматривать как квадратное уравнение относительно x: -6x^2 + 4xy - 3y^2 = 0.
• В данном случае, дискриминант D равен: D = (4y)^2 - 4 * (-6) * (-3y^2) = 16y^2 - 72y^2 = -56y^2.

Аналогично, так как D < 0 для любого значения y (кроме y = 0, где выражение равно нулю), это также означает, что уравнение не имеет действительных корней, и парабола открыта вниз. Следовательно, выражение 4xy - 6x^2 - 3y^2 всегда меньше или равно нулю для любых x и y.

Таким образом, оба неравенства верны для любых значений переменных x и y.