Докажите, что выполняются следующие равенства:

1. Cos2a - sin(pi + a) sin(4pi + a) = cos^2a
2. 4sina cosa + sin(2a - pi) = sin2a

Алгебра 9 класс Тригонометрические равенства алгебра 9 класс тригонометрические равенства доказательство равенств косинус и синус задачи по алгебре математические доказательства Новый

Давайте поочередно докажем каждое из данных равенств.

Первое равенство: cos(2a) - sin(pi + a) sin(4pi + a) = cos^2(a)

1. Начнем с левой части равенства: cos(2a).
2. Используем формулу для косинуса двойного угла: cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a).
3. Теперь разберем вторую часть левой стороны: sin(pi + a) и sin(4pi + a).
4. По свойствам синуса: sin(pi + a) = -sin(a) и sin(4pi + a) = sin(a) (так как sin периодичен с периодом 2pi).
5. Таким образом, sin(pi + a) sin(4pi + a) = -sin(a) * sin(a) = -sin^2(a).
6. Теперь подставим это в наше выражение: cos(2a) - (-sin^2(a)) = cos(2a) + sin^2(a).
7. Теперь вспомним, что cos^2(a) + sin^2(a) = 1. Следовательно, cos(2a) + sin^2(a) = cos^2(a).
8. Таким образом, мы получаем, что: cos(2a) - sin(pi + a) sin(4pi + a) = cos^2(a).

Первое равенство доказано.

Второе равенство: 4sin(a)cos(a) + sin(2a - pi) = sin(2a)

1. Начнем с левой части: 4sin(a)cos(a).
2. Используем двойное угловое произведение: 4sin(a)cos(a) = 2 * 2sin(a)cos(a) = 2sin(2a).
3. Теперь рассмотрим sin(2a - pi). По свойству синуса: sin(2a - pi) = -sin(2a).
4. Следовательно, левая часть равенства становится: 2sin(2a) - sin(2a) = sin(2a).
5. Таким образом, мы получаем: 4sin(a)cos(a) + sin(2a - pi) = sin(2a).

Второе равенство также доказано.

Таким образом, оба равенства выполнены. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!