Как можно доказать, что уравнение х^5 + 2х^3 + 8х + cos(3x) = 0 имеет только один корень?

Алгебра 9 класс Исследование функций и уравнений уравнение х^5 + 2х^3 + 8х + cos(3x) = 0 доказательство единственного корня алгебра 9 класс методы решения уравнений анализ функций Новый

Чтобы доказать, что уравнение x^5 + 2x^3 + 8x + cos(3x) = 0 имеет только один корень, мы можем использовать теорему о промежуточном значении и свойства производной функции.

Давайте обозначим функцию f(x) = x^5 + 2x^3 + 8x + cos(3x). Теперь мы будем изучать её поведение.

1. Найдём производную функции f(x):

Для этого применим правило дифференцирования:

2. f'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 8 - 3sin(3x)
3. Анализ производной:

Теперь мы должны понять, как изменяется f'(x). Заметим, что:

• Члены 5x^4, 6x^2 и 8 всегда неотрицательны для всех x.
• Член -3sin(3x) колеблется между -3 и 3.

Таким образом, в зависимости от значения sin(3x), производная может быть как положительной, так и отрицательной. Однако, поскольку основные члены (5x^4 + 6x^2 + 8) всегда положительны и их значения растут с увеличением x, мы можем утверждать, что:

При больших значениях x, f'(x) будет положительным, и при больших отрицательных значениях x тоже будет положительным.

3. Проверим значения функции:

Теперь найдем значения функции на краях интервала:

• f(-∞) = -∞ (так как x^5 доминирует над остальными членами).
• f(+∞) = +∞ (так как x^5 также доминирует).

Следовательно, по теореме о промежуточном значении, функция f(x) обязательно пересечет ось абсцисс хотя бы один раз, то есть уравнение имеет хотя бы один корень.

4. Проверим, что f'(x) не меняет знак:

Если f'(x) не меняет знак, то функция f(x) будет либо строго возрастать, либо строго убывать на всей области определения.

Поскольку f'(x) в основном положительно, это указывает на то, что функция f(x) строго возрастает.

Таким образом, если функция f(x) строго возрастает, то у нее может быть только один корень. Итак, мы пришли к выводу, что уравнение x^5 + 2x^3 + 8x + cos(3x) = 0 имеет только один корень.