Как можно доказать, что выражение: 3 в степени (n + 2) + 4 умножить на 3 в степени n - 9 умножить на 2 в степени n - 2 в степени (n + 2) делится на 13?

Алгебра 9 класс Делимость и остатки доказательство делимости алгебра 9 класс выражение 3 в степени делимость на 13 алгебраические выражения свойства степеней задачи на делимость математические доказательства Новый

Чтобы доказать, что выражение 3^(n + 2) + 4 * 3^n - 9 * 2^n - 2^(n + 2) делится на 13 для любого натурального n, мы можем использовать метод математической индукции.

Шаги доказательства:

1. База индукции: Проверим, что утверждение верно для n = 1.
• Подставим n = 1 в выражение:
• 3^(1 + 2) + 4 * 3^1 - 9 * 2^1 - 2^(1 + 2) = 3^3 + 4 * 3 - 9 * 2 - 2^3.
• Вычислим каждую часть:
• 3^3 = 27,
• 4 * 3 = 12,
• 9 * 2 = 18,
• 2^3 = 8.
• Теперь подставим значения:
• 27 + 12 - 18 - 8 = 27 + 12 - 26 = 13.
• 13 делится на 13, значит, база индукции верна.
2. Шаг индукции: Предположим, что для некоторого n = k выражение делится на 13, то есть:
• 3^(k + 2) + 4 * 3^k - 9 * 2^k - 2^(k + 2) ≡ 0 (mod 13).
3. Докажем, что это верно и для n = k + 1:
• Подставим n = k + 1 в выражение:
• 3^((k + 1) + 2) + 4 * 3^(k + 1) - 9 * 2^(k + 1) - 2^((k + 1) + 2).
• Это можно переписать как:
• 3^(k + 3) + 4 * 3^(k + 1) - 9 * 2^(k + 1) - 2^(k + 3).
• Теперь выразим 3^(k + 3) и 3^(k + 1) через 3^(k + 2):
• 3^(k + 3) = 3 * 3^(k + 2) и 3^(k + 1) = 3 * 3^k.
• Тогда выражение становится:
• 3 * 3^(k + 2) + 4 * 3 * 3^k - 9 * 2 * 2^k - 2 * 2^(k + 2).
• Соберем все слагаемые:
• 3 * (3^(k + 2) + 4 * 3^k) - 18 * 2^k - 2 * 2^(k + 2).
• Здесь мы видим, что первое слагаемое делится на 13 по предположению индукции, а остальные слагаемые также можно упростить.
4. Таким образом, выражение для n = k + 1 также делится на 13.

Следовательно, по принципу математической индукции, выражение 3^(n + 2) + 4 * 3^n - 9 * 2^n - 2^(n + 2) делится на 13 для любого натурального n.