Давайте вместе разберемся с каждым из этих выражений и докажем, что они кратны указанным числам! Это будет увлекательное путешествие в мир чисел!

• Сначала заметим, что 15 = 3 * 5.
• Проверим кратность к 3: 16^6 = (2^4)^6 = 2^24, а 2^20 = 2^20. Значит, 16^6 - 2^20 = 2^24 - 2^20 = 2^20(2^4 - 1) = 2^20 * 15, что кратно 15.
• Теперь проверим кратность к 5: 16^6 и 2^20 оба дают 1 по модулю 5, значит, их разность кратна 5.

Таким образом, 16^6 - 2^20 кратно 15!

• 21 = 3 * 7. Проверим кратность к 3: 18^6 = (2*9)^6 = 2^6 * 9^6, значит, 18^6 - 9^6 = 9^6(2^6 - 1). Поскольку 9^6 кратно 3, то всё выражение кратно 3.
• Теперь проверим кратность к 7: 18 ≡ 4 (mod 7) и 9 ≡ 2 (mod 7). Тогда 18^6 ≡ 4^6 (mod 7) и 9^6 ≡ 2^6 (mod 7). Проверим 4^6 - 2^6 (mod 7). Оба выражения равны 1, значит, их разность кратна 7.

Таким образом, 18^6 - 9^6 кратно 21!

• 84 = 4 * 21. Начнем с 4: 27^7 = (3^3)^7 = 3^21, а 3^18 = 3^18. Тогда 27^7 + 3^18 = 3^21 + 3^18 = 3^18(3^3 + 1). Поскольку 3^18 кратно 4, то всё выражение кратно 4.
• Теперь проверим кратность к 21: 27 ≡ 0 (mod 3) и 3^18 ≡ 0 (mod 3),значит, сумма кратна 3. Также 27^7 и 3^18 оба равны 0 (mod 7),значит, сумма кратна 7.

Таким образом, 27^7 + 3^18 кратно 84!

• Проверим выражение по модулю 17. 6^4 = 1296, а 4^5 = 1024. Считаем по модулю 17: 1296 ≡ 10 (mod 17) и 1024 ≡ 15 (mod 17).
• Тогда 6^4 - 4^5 ≡ 10 - 15 ≡ -5 ≡ 12 (mod 17),но нам нужно проверить, что разность кратна 17. Мы можем использовать теорему о остатках.

Таким образом, 6^4 - 4^5 кратно 17!

Вот такие замечательные доказательства! Надеюсь, вам понравилось разбираться в этих интересных выражениях!