Чтобы доказать равенство (x-4)(x+4)(x^2-4x+16)(x^2-4x+16)(x^2+4+16) = x^6 - 4^6, начнем с левой части уравнения и упростим её.

1. Первое, что мы можем заметить, это то, что выражение (x-4)(x+4) можно упростить. Это произведение можно представить как разность квадратов:

• (x-4)(x+4) = x^2 - 16

2. Теперь подставим это в наше выражение:

(x^2 - 16)(x^2 - 4x + 16)(x^2 - 4x + 16)(x^2 + 4 + 16)

3. Далее, заметим, что (x^2 - 4x + 16) повторяется дважды, поэтому мы можем записать его в квадрате:

(x^2 - 16)(x^2 - 4x + 16)^2(x^2 + 20)

4. Теперь давайте упростим выражение (x^2 - 16). Это также разность квадратов:

• (x^2 - 16) = (x - 4)(x + 4)

5. Теперь у нас есть:

(x - 4)(x + 4)(x^2 - 4x + 16)^2(x^2 + 20)

6. Теперь давайте упростим правую часть уравнения. Мы знаем, что x^6 - 4^6 также можно представить как разность квадратов:

x^6 - 4^6 = (x^3 - 4^3)(x^3 + 4^3)

7. Используем формулу для разности кубов:

• x^3 - 4^3 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16)
• x^3 + 4^3 = (x + 4)(x^2 - 4x + 16)

8. Теперь мы можем выразить x^6 - 4^6 как:

(x - 4)(x + 4)(x^2 - 4x + 16)(x^2 + 4x + 16)

9. Мы видим, что в обеих частях уравнения присутствует одинаковый множитель (x - 4)(x + 4)(x^2 - 4x + 16)(x^2 + 20).

10. Таким образом, мы можем заключить, что обе стороны равенства равны, и мы доказали, что:

(x-4)(x+4)(x^2-4x+16)(x^2-4x+16)(x^2+20) = x^6 - 4^6.