Как можно доказать следующие тождества?
1) (a-b)(a+b)(a2+b2) = a4-b4
2) (a4+b4)(a4+b2)(a+b)(a-b) = a8-b8
#466

Алгебра 9 класс Тождество и алгебраические преобразования алгебра тождества доказательства математические тождества алгебраические выражения факторизация преобразование выражений свойства чисел Новый

Давайте разберем оба тождества по шагам. Начнем с первого тождества:

1) (a-b)(a+b)(a^2+b^2) = a^4-b^4

Для доказательства этого тождества воспользуемся известными формулами разности и суммы квадратов:

• Сначала найдем произведение (a-b)(a+b). Это выражение можно упростить с помощью формулы разности квадратов:
• (a-b)(a+b) = a^2 - b^2
• Теперь подставим это в наше выражение:
• (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)
• Теперь используем формулу разности квадратов снова:
• (x - y)(x + y) = x^2 - y^2, где x = a^2, y = b^2.
• Таким образом, получаем: (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4.

Следовательно, первое тождество доказано:

(a-b)(a+b)(a^2+b^2) = a^4-b^4.

2) (a^4+b^4)(a^4+b^2)(a+b)(a-b) = a^8-b^8

Теперь перейдем ко второму тождеству. Здесь также будем использовать формулы разности и суммы квадратов:

• Сначала рассмотрим произведение (a+b)(a-b), которое мы уже знаем:
• (a+b)(a-b) = a^2 - b^2.
• Теперь у нас остается выражение (a^4 + b^4)(a^4 + b^2)(a^2 - b^2).
• Теперь мы можем упростить (a^4 + b^4)(a^4 + b^2) с помощью формулы разности квадратов:
• (x^2 + y^2)(x^2 + z^2) = x^4 + y^2z^2 + z^4 - y^2z^2 = x^4 + z^4, где x = a^2, y = b^2, z = b^2.
• Получается, что (a^4 + b^4)(a^4 + b^2) = a^8 + b^8 - b^4.
• Теперь подставим это в выражение:
• (a^8 + b^8 - b^4)(a^2 - b^2).
• Теперь снова используем формулу разности квадратов:
• (x - y)(x + y) = x^2 - y^2, где x = a^4, y = b^4.
• Таким образом, получаем: a^8 - b^8.

Следовательно, второе тождество также доказано:

(a^4+b^4)(a^4+b^2)(a+b)(a-b) = a^8-b^8.

Таким образом, оба тождества верны и доказаны.