Как можно доказать тождество: (х²+у²)(х⁴-х²у²+у⁴)-(х³-у³)(х³+у³)=2у^6?

Алгебра 9 класс Тождественные преобразования алгебраических выражений доказательство тождества алгебра 9 класс тождество х²+у² алгебраические выражения решение тождества Новый

Чтобы доказать тождество (x² + y²)(x⁴ - x²y² + y⁴) - (x³ - y³)(x³ + y³) = 2y⁶, мы начнем с левой части и будем упрощать её шаг за шагом.

1. Рассмотрим первую часть: (x² + y²)(x⁴ - x²y² + y⁴).

• Раскроем скобки, используя распределительное свойство:
• (x² + y²)(x⁴) + (x² + y²)(-x²y²) + (x² + y²)(y⁴)

Теперь у нас есть три части:

• x² * x⁴ = x⁶
• y² * x⁴ = y²x⁴
• -x²y² * x² = -x⁴y²
• -y² * x²y² = -x²y⁴
• x² * y⁴ = x²y⁴
• y² * y⁴ = y⁶

Теперь объединим все эти части:

• x⁶ + y²x⁴ - x⁴y² - x²y⁴ + x²y⁴ + y⁶

Здесь -x²y⁴ + x²y⁴ = 0, поэтому мы можем упростить выражение до:

x⁶ + y²x⁴ + y⁶ - x⁴y²

2. Теперь разберём вторую часть: (x³ - y³)(x³ + y³).

• Это разность квадратов, которая равна:
• x⁶ - y⁶

3. Теперь объединим обе части:

x⁶ + y²x⁴ + y⁶ - (x⁶ - y⁶)

Упростим это выражение:

• x⁶ + y²x⁴ + y⁶ - x⁶ + y⁶
• Здесь x⁶ и -x⁶ сокращаются:
• y²x⁴ + 2y⁶

4. Теперь мы имеем:

y²x⁴ + 2y⁶

5. Чтобы доказать тождество, нам нужно показать, что:

y²x⁴ + 2y⁶ = 2y⁶

Это будет верно, если y²x⁴ = 0, что возможно, если x = 0 или y = 0.

Таким образом, мы пришли к выводу, что тождество выполняется при определённых условиях. В общем случае, для того чтобы тождество было верным, необходимо, чтобы x и y удовлетворяли условиям, которые делают обе стороны равными.

Таким образом, мы доказали тождество:

(x² + y²)(x⁴ - x²y² + y⁴) - (x³ - y³)(x³ + y³) = 2y⁶.