Как можно доказать тождество:

sin² β + sin² β * cos² β + cos⁴ β = 1?

Алгебра 9 класс Тождества тригонометрии доказать тождество алгебра 9 класс тригонометрические функции sin² β cos² β математические тождества решение уравнений свойства тригонометрии Новый

Чтобы доказать тождество sin² β + sin² β * cos² β + cos⁴ β = 1, давайте рассмотрим каждую часть этого выражения и попробуем упростить его.

1. Начнем с левой части тождества: sin² β + sin² β * cos² β + cos⁴ β.
2. Объединим первые два слагаемых: sin² β + sin² β * cos² β можно записать как sin² β (1 + cos² β).
3. Теперь вспомним, что: 1 + cos² β = 1 + (1 - sin² β) = 2 - sin² β.
4. Подставим это в наше выражение:
• sin² β (1 + cos² β) = sin² β (2 - sin² β).
5. Теперь у нас получится: sin² β * (2 - sin² β) + cos⁴ β.
6. Раскроем скобки: 2sin² β - sin^4 β + cos⁴ β.
7. Теперь воспользуемся формулой: sin² β + cos² β = 1.
8. Выразим cos⁴ β: cos⁴ β = (cos² β)² = (1 - sin² β)² = 1 - 2sin² β + sin^4 β.
9. Теперь подставим это в наше выражение:
• 2sin² β - sin^4 β + (1 - 2sin² β + sin^4 β).
10. Упростим: 2sin² β - sin^4 β + 1 - 2sin² β + sin^4 β.
11. Сложим подобные слагаемые: 1 + (2sin² β - 2sin² β) + (-sin^4 β + sin^4 β) = 1.
12. Таким образом, мы пришли к: 1.

Следовательно, мы доказали, что sin² β + sin² β * cos² β + cos⁴ β = 1. Это тождество верно для любого значения угла β.