Как можно найти значение Х₁⁴+Х₂⁴ для уравнения 3х²+8х-1=0, не вычисляя его корни? Не нужно подставлять числа и использовать Х₁+Х₂ или Х₁·Х₂. Заранее спасибо!

Алгебра 9 класс Системы уравнений и свойства корней алгебра 9 класс уравнение значение Х₁⁴ Х₂⁴ корни 3х²+8х-1=0 не вычисляя методы свойства сумма корней произведение корней Новый

Чтобы найти значение выражения X₁⁴ + X₂⁴, не вычисляя сами корни квадратного уравнения, мы можем воспользоваться теоремой Виета и свойствами симметрических многочленов. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Использование теоремы Виета: Для квадратного уравнения 3x² + 8x - 1 = 0 теорема Виета утверждает, что:
   • Сумма корней: X₁ + X₂ = -b/a = -8/3
   • Произведение корней: X₁·X₂ = c/a = -1/3
2. Выразим X₁⁴ + X₂⁴ через X₁ + X₂ и X₁·X₂: Мы знаем, что:
   • X₁² + X₂² = (X₁ + X₂)² - 2X₁·X₂
   • X₁⁴ + X₂⁴ = (X₁² + X₂²)² - 2(X₁·X₂)²
3. Найдем X₁² + X₂²:
   • Подставляем значения из теоремы Виета:
     • X₁² + X₂² = (X₁ + X₂)² - 2X₁·X₂ = ((-8/3)²) - 2(-1/3)
     • X₁² + X₂² = (64/9) + 2/3 = 64/9 + 6/9 = 70/9
4. Найдем X₁⁴ + X₂⁴:
   • Подставляем найденное значение X₁² + X₂²:
     • X₁⁴ + X₂⁴ = (X₁² + X₂²)² - 2(X₁·X₂)²
     • X₁⁴ + X₂⁴ = (70/9)² - 2((-1/3)²)
     • X₁⁴ + X₂⁴ = 4900/81 - 2(1/9)
     • X₁⁴ + X₂⁴ = 4900/81 - 2/9
     • Приводим к общему знаменателю: 2/9 = 18/81
     • X₁⁴ + X₂⁴ = 4900/81 - 18/81 = 4882/81

Таким образом, значение X₁⁴ + X₂⁴ равно 4882/81. Мы использовали свойства симметрических многочленов и теорему Виета, чтобы выразить это значение через сумму и произведение корней, не вычисляя их непосредственно.