Как можно определить скорость и ускорение точки, которая движется по закону s=5t^2-4t+7корень из t, в момент времени t=4 секунды?

Алгебра 9 класс Движение по закону скорость точки ускорение точки закон движения алгебра 9 класс задача на движение определение скорости определение ускорения момент времени t=4 функция движения математическое моделирование Новый

Для определения скорости и ускорения точки, движущейся по заданному закону s(t) = 5t² - 4t + 7√t, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти скорость точки:

Скорость точки определяется как производная функции перемещения по времени. То есть, нам нужно найти производную s(t) по t, а затем подставить значение t = 4 секунды.

• Функция s(t) = 5t² - 4t + 7√t.
• Для нахождения производной используем правила дифференцирования:
1. Производная 5t² = 10t.
2. Производная -4t = -4.
3. Производная 7√t = 7 * (1/2)t^(-1/2) = (7/2) * (1/√t).
• Теперь найдем производную s(t):
s'(t) = 10t - 4 + (7/2) * (1/√t).

Теперь подставим t = 4 в полученную производную:

• s'(4) = 10(4) - 4 + (7/2) * (1/√4).
• s'(4) = 40 - 4 + (7/2) * (1/2).
• s'(4) = 40 - 4 + 7/4.
• s'(4) = 36 + 7/4 = 36 + 1.75 = 37.75.

Таким образом, скорость точки в момент времени t = 4 секунды равна 37.75 единиц/секунду.

2. Найти ускорение точки:

Ускорение точки определяется как производная скорости по времени, то есть вторая производная функции перемещения s(t). Нам нужно найти производную s'(t) и затем еще раз продифференцировать её.

• Мы уже нашли s'(t) = 10t - 4 + (7/2) * (1/√t).
• Теперь найдем производную s'(t):
1. Производная 10t = 10.
2. Производная -4 = 0.
3. Для (7/2) * (1/√t) используем правило производной: (7/2) * (-1/2)t^(-3/2) = -(7/4)t^(-3/2).
• Таким образом, получаем:
s''(t) = 10 - (7/4)t^(-3/2).

Теперь подставим t = 4 в выражение для ускорения:

• s''(4) = 10 - (7/4)(4^(-3/2)).
• Сначала найдем 4^(-3/2) = 1/(4^(3/2)) = 1/(8) = 1/8.
• Теперь подставим это значение:
• s''(4) = 10 - (7/4)(1/8) = 10 - (7/32).
• Для удобства приведем 10 к общему знаменателю: 10 = 320/32.
• Теперь вычтем: s''(4) = (320/32) - (7/32) = 313/32.

Таким образом, ускорение точки в момент времени t = 4 секунды равно 313/32 единиц/секунду в квадрате.

Итак, в момент времени t = 4 секунды:

• Скорость: 37.75 единиц/секунду.
• Ускорение: 313/32 единиц/секунду в квадрате.