Как можно определить значения a и b, если 1 и 2 являются корнями многочлена x^3 - 4x^2 + ax + b? Как найти третий корень, и существует ли он в данном случае?

Алгебра 9 класс Корни многочлена и их свойства многочлен корни многочлена значения a и b третий корень алгебра 9 класс Новый

Для того чтобы определить значения a и b, а также найти третий корень многочлена, мы можем использовать свойства корней многочлена и теорему Виета.

Данный многочлен имеет вид:

x^3 - 4x^2 + ax + b

По условию, 1 и 2 являются корнями этого многочлена. Это значит, что подстановка этих значений в многочлен должна давать 0.

1. Подставим корень x = 1:
• 1^3 - 4*1^2 + a*1 + b = 0
• 1 - 4 + a + b = 0
• a + b - 3 = 0
• Таким образом, получаем первое уравнение: a + b = 3.
2. Подставим корень x = 2:
• 2^3 - 4*2^2 + a*2 + b = 0
• 8 - 16 + 2a + b = 0
• 2a + b - 8 = 0
• Таким образом, получаем второе уравнение: 2a + b = 8.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a + b = 3
2. 2a + b = 8

Чтобы решить эту систему, мы можем вычесть первое уравнение из второго:

• (2a + b) - (a + b) = 8 - 3
• 2a - a + b - b = 5
• a = 5.

Теперь подставим найденное значение a в первое уравнение:

• 5 + b = 3
• b = 3 - 5 = -2.

Таким образом, мы нашли значения:

• a = 5
• b = -2

Теперь у нас есть многочлен:

x^3 - 4x^2 + 5x - 2.

Для нахождения третьего корня:

Используем теорему Виета, которая говорит, что сумма корней многочлена равна -коэффициенту при x^2 (в данном случае 4), а произведение корней равно -коэффициенту при x^0 (в данном случае -(-2) = 2).

Обозначим третий корень как r. Тогда:

• 1 + 2 + r = 4,
• 3 + r = 4,
• r = 1.

Таким образом, все корни многочлена: 1, 2 и 1. Мы видим, что третий корень совпадает с одним из уже известных корней.

Ответ: a = 5, b = -2. Третий корень многочлена равен 1, и он совпадает с одним из корней.