Как можно проанализировать функцию и построить график у=6х⁵+15х⁴+10х³? Пожалуйста, помогите.

Алгебра 9 класс Исследование функции и построение графика анализ функции построение графика у=6х⁵+15х⁴+10х³ алгебра 9 класс математический анализ Новый

Чтобы проанализировать функцию y = 6x^5 + 15x^4 + 10x^3 и построить её график, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Определение области определения функции:

Функция y = 6x^5 + 15x^4 + 10x^3 является многочленом, и многочлены определены для всех значений x. Таким образом, область определения функции - это все действительные числа.

2. Нахождение производной:

Для анализа функции полезно найти её производную. Производная поможет нам определить, где функция возрастает и убывает, а также найти экстремумы.

• y' = d(6x^5)/dx + d(15x^4)/dx + d(10x^3)/dx
• y' = 30x^4 + 60x^3 + 30x^2

3. Нахождение критических точек:

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Найдем, где y' = 0:

• 30x^4 + 60x^3 + 30x^2 = 0
• 30x^2(x^2 + 2x + 1) = 0
• 30x^2(x + 1)^2 = 0

Это уравнение равно нулю, когда x = 0 или x = -1. Таким образом, критические точки: x = 0 и x = -1.

4. Анализ знаков производной:

Теперь нужно определить, как ведет себя производная на интервалах, которые образованы критическими точками:

• Для x < -1: y' > 0 (функция возрастает)
• Для -1 < x < 0: y' < 0 (функция убывает)
• Для x > 0: y' > 0 (функция возрастает)

5. Определение экстремумов:

Из анализа знаков производной видно, что в точке x = -1 функция имеет максимум, а в точке x = 0 - минимум.

6. Нахождение значений функции в критических точках:

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• y(-1) = 6(-1)^5 + 15(-1)^4 + 10(-1)^3 = -6 + 15 - 10 = -1
• y(0) = 6(0)^5 + 15(0)^4 + 10(0)^3 = 0

7. Построение графика:

Теперь, имея критические точки и значения функции в них, можно построить график:

1. Отметьте критические точки (-1, -1) и (0, 0).
2. Проведите линии, показывающие, что функция возрастает до x = -1, убывает между -1 и 0, и снова возрастает после x = 0.
3. Не забудьте учесть поведение функции на бесконечности: при x -> -∞, y -> -∞ и при x -> +∞, y -> +∞.

После выполнения всех этих шагов вы сможете построить график функции y = 6x^5 + 15x^4 + 10x^3, который будет иметь максимум в точке (-1, -1) и минимум в точке (0, 0).